Системы счисления.
Система счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
Система счисления:
даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);
даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);
отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.
Системы счисления подразделяются на позиционные, непозиционные и смешанные.
Позиционные системы счисления — это системы счисления, в которых значение цифры напрямую зависит от её положения в числе. Например, число 01 обозначает единицу, 10 — десять.
Позиционные системы счисления позволяют легко производить арифметические расчёты.
Представление чисел с помощью арабских цифр — самая распространённая позиционная система счисления, она называется «десятичной системой счисления». Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Заметьте: максимальная цифра (9) на единичку меньше количества цифр (10).
Примеры чисел:
—
число
в десятичной
системе счисления, 
;
—
это
же число в восьмеричной
системе счисления, 
;
—
это
же число в несимметричной троичной
системе счисления, 
;
—
это
же число в двоичной
системе счисления, 
;
Зависимость плотности записи информации от основания системы счисления[править]
Удельная натуральнологарифмическая плотность записи числа зависит от основания системы счисления х и выражается функцией y=ln(x)/x. Эта функция имеет максимум при x=e=2,718281828….
То есть система счисления с наибольшей плотностью записи имеет нецелочисленное основание.
Из целочисленных систем счисления наибольшей плотностью записи информации обладает троичная система счисления, то есть система с основанием равным трём.
Эту задачу решали ещё во времена Непера, в результате для уменьшения таблиц и числа вычислений перешли к таблицам натуральных логарифмов с основанием равным числу Эйлера е=2,718281828… .
Возьмём
для примера полюбившееся нам число 
и
получим представление этого числа в
двоичной системе счисления:
,
остаток 
;
,
остаток 
;
,
остаток
;
,
остаток
;
,
остаток
.
Что и следовало ожидать, получили: .
Представим число 25 в троичной системе счисления:
,
остаток
;
,
остаток 
;
,
остаток
.
Получили число: .
Для закрепления наших знаний проделаем вычисления для восьмеричной и десятичной систем счисления.
Восьмеричная система счисления:
,
остаток
;
,
остаток 
.
Результат: .
Десятичная система счисления:
,
остаток 
;
,
остаток
.
Результат: .
Двоичная система счисления
;
В непозиционных системах счисления величина числа не зависит от положения цифр в записи. Если к каждой цифре приписать знак номинала, то такие составные знаки (цифра + номинал) уже можно перемешивать, то есть такая запись является непозиционной.
Примером «чисто» непозиционной системы счисления является римская система.
Римская система счисления — это непозиционная система счисления, в которой для записи чисел используются буквы латинского алфавита:
I — означает «один» (1);
V — означает «пять» (5);
X — означает «десять» (10);
L — означает «пятьдесят» (50);
C — означает «сто» (100);
D — означает «пятьсот» (500);
M — означает «тысяча» (1000);
Денежные знаки — это пример смешанной системы счисления.
Сейчас в России используются монеты и купюры следующих номиналов: по 1, 5, 10, 50 копеек и по 1, 2, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000 рублей. Чтобы получить некоторую сумму в рублях, нужно использовать некоторое количество денежных знаков различного достоинства.
Предположим, что пылесос стоит 6379 рублей. Для покупки можно использовать шесть купюр по тысяче рублей, три купюры по сто рублей, одну пятидесятирублёвую купюру, две десятки, одну пятирублёвую монету и две монеты по два рубля. Если записать количество купюр или монет начиная с 1000 руб. и заканчивая одной копейкой, заменяя нулями неиспользуемые номиналы, то получится число 603121200000.