Примеры решения типовых заданий
Пример 7.1. Дана расширенная модель формирования спроса и предложения:
где
– цена,
– цена в предыдущий момент времени,
– предложение товара,
– спрос на товар,
– доход.
Составить структурную и приведенную формы модели.
Решение:
Учитывая уравнение равновесия, перейдем от расширенной формы модели к модели:
где
– количество товара (производимого и
потребляемого).
В данной модели эндогенными переменными (т.е. определяемыми внутри модели) являются переменные и .
Предопределенными переменными являются экзогенная переменная и лаговая эндогенная переменная .
Поэтому структурная форма модели имеет вид:
Приведенная форма содержит два уравнения (по числу эндогенных переменных модели). Каждое уравнение приведенной формы представляет собой зависимость эндогенной переменной от предопределенных переменных модели (дохода и цены в предыдущий период). В результате имеем приведенную форму:
Пример 7.2. Идентифицировать каждое уравнение системы и саму систему в целом
Решение:
Для
первого уравнения
,
.
Так как
,
то ввиду необходимого и достаточного
условия (таблица 7.1) уравнение является
неидентифицируемым.
Для
второго уравнения
,
,
т.е. выполняется неравенство
.
Кроме того, ранг матрицы, составленной из коэффициентов первого и третьего уравнений при переменных (эндогенных и экзогенных), отсутствующих во втором уравнении, равен двум. Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) второе уравнение сверхидентифицируемо.
Для
третьего уравнения
,
,
т.е. выполняется равенство
.
Кроме того, ранг матрицы, составленной из коэффициентов первого и второго уравнений при переменных (эндогенных и экзогенных), отсутствующих в третьем уравнении, равен двум. Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) третье уравнение идентифицируемо.
Так как первое уравнение в системе не идентифицируемо, то вся модель является неидентифицируемой.
Пример 7.3. Идентифицировать следующую структурную модель:
Исходя из приведенной формы модели
найти структурные коэффициенты.
Решение:
Модель
имеет три эндогенные
и
три экзогенные
переменные.
Проверим для каждого уравнения структурной модели выполнимость необходимого и достаточного условия идентификации, приведенного в таблице (7.1).
Первое
уравнение содержит две эндогенные
переменные
и
;
в нем отсутствует одна экзогенная
переменная
.
Значит,
,
и выполняется равенство
.
Построим
матрицу
из коэффициентов при переменных
и
во втором и третьем уравнениях системы:
.
Так как
,
то ранг матрицы равен 2.
Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) первое уравнение идентифицируемо.
Второе
уравнение содержит три эндогенные
переменные
,
и
;
в нем отсутствуют две экзогенные
переменные
и
.
Значит,
,
и
выполняется равенство
.
Построим
матрицу
из коэффициентов при переменных
и
в
первом и третьем уравнениях системы:
.
Так как
,
то ранг матрицы равен 2.
Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) второе уравнение идентифицируемо.
Третье уравнение содержит две эндогенные переменные и ; в нем отсутствует одна экзогенная переменная . Значит, , и выполняется равенство .
Построим
матрицу
из коэффициентов при переменные
и
в первом и втором уравнениях системы:
.
Так как
,
то ранг матрицы равен 2.
Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) третье уравнение идентифицируемо.
Таким образом, исследуемая система идентифицируема. Поэтому для ее решения применим косвенный метод наименьших квадратов: структурные коэффициенты модели с помощью алгебраических преобразований выразим через приведенные коэффициенты.
1. Из третьего уравнения приведенной формы выразим (так как его нет в первом уравнении структурной формы):
Данное
выражение содержит переменные
,
и
,
которые нужны для первого уравнения
структурной формы модели. Подставим
полученное выражение
в
первое уравнение приведенной формы
модели:
Получили первое уравнение структурной формы модели.
2. Во втором уравнении структурной формы модели нет переменных и . Параметры второго уравнения структурной формы определим в два этапа.
На первом этапе выразим из первого уравнения приведенной формы модели:
Кроме
того, выразим
из
третьего уравнения приведенной формы
модели:
Подставим
значение
в выражение для
:
На втором этапе аналогично в выражение для подставим значение , полученное из первого уравнения приведенной формы модели:
Следовательно,
.
Подставим теперь полученные значения и во второе уравнение приведенной формы модели:
Получили второе уравнение структурной формы модели.
3. Из второго уравнения приведенной формы модели выразим :
Подставим полученное выражение в третье уравнение приведенной формы модели:
Получили третье уравнение структурной формы модели.
Таким образом, структурная форма модели имеет вид:
Пример 7.4. Идентифицировать следующую структурную модель:
На основании статистических данных, представленных в таблице 7.2, с помощью двухшагового метода наименьших квадратов найти структурные коэффициенты модели.
Таблица 7.2. Статистические данные примера 7.4
|
|
|
|
3,1 |
7,4 |
6,8 |
46,7 |
22,8 |
30,4 |
22,4 |
3,1 |
7,8 |
1,3 |
17,3 |
22,8 |
21,4 |
8,7 |
12,0 |
7,8 |
17,8 |
25,8 |
5,9 |
21,4 |
37,2 |
8,6 |
44,7 |
17,8 |
35,7 |
30,0 |
23,1 |
37,2 |
46,6 |
31,4 |
51,2 |
35,7 |
56,0 |
39,1 |
32,3 |
46,6 |
