Решение:

По формулам , находим коэффициенты регрессии: , . Поэтому построенная линейная модель

имеет вид .

Коэффициент регрессии модели показывает, что в среднем увеличение жилой площади квартиры на 1 кв. метр приводит к увеличению ее стоимости на 170,24 доллара.

Расчет линейного коэффициента корреляции и коэффициента детерминации дает , . Связь между факторами является высокой, поэтому стоимость квартиры существенно зависит от ее жилой площади. Величина показывает, что изменения стоимости квартиры на 72,81% объясняется размером жилой площади.

Расчет дисперсионного отношения Фишера дает значение . Сравнивая наблюдаемое значение -критерия Фишера с критическим при , получаем, что Таким образом, уравнение регрессии значимо и построенная модель адекватна выборочным данным.

Расчет стандартных ошибок коэффициентов регрессии осуществляется по формулам (3.4). В нашем случае имеем , .

Доверительные интервалы для каждого коэффициента регрессии имеют вид: , . Зная точечные оценки коэффициентов регрессии, их стандартные ошибки и критическое значение -статистики Стьюдента , находим, что , .

Для вычисления точечного прогноза подставим значение x_p=41 в полученное уравнение линейной регрессии . Получим: . Таким образом, прогнозируемая по построенной модели стоимость квартиры площадью 41 квадратный метр составляет 7242,65 доллара.

Для построения доверительного интервала прогноза вычислим стандартную ошибку прогноза по формуле , где – стандартная ошибка регрессии. В нашем случае . Поэтому . Теперь нижняя и верхняя границы интервала прогноза при и определяются по формулам и . Окончательно находим, что доверительный интервал прогноза стоимости квартиры имеет вид . Таким образом, значение цены квартиры площадью 41 квадратный метр с вероятностью 0,95 находится в пределах от 6266,78 до 8218,51 доллара.

Пример 3.4. По данным проведенного опроса восьми групп семей (таблица 3.10) о расходах на питание и душевом доходе построить и исследовать линейную регрессионную модель. Найти прогнозное значение результативного фактора при значении фактора, составляющем 110% от среднего уровня душевого дохода семьи.

Таблица 3.10. Статистические данные примера 3.4

Расходы на продукты питания (тыс. ден. ед.)	0,9	1,2	1,8	2,2	2,6	2,9	3,3	3,8
Душевой доход семьи (тыс. ден. ед.)	1,2	3,1	5,3	7,4	9,6	11,8	14,5	18,7

Решение:

Предположим, что связь между доходами семьи и расходами на продукты питания линейная. Для подтверждения нашего предположения построим корреляционное поле (рисунок 3.9) и проанализируем расположение точек наблюдений.

Рис. 3.9. Корреляционное поле примера 3.4

Из графика видно, что точки группируются возле некоторой прямой линии.

Рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии. Для этого воспользуемся формулами (3.3):

Получили уравнение . Таким образом, с увеличением душевого дохода семьи на 1000 денежных единиц расходы на питание увеличиваются на 169 денежных единиц.

Как было указано выше, уравнение линейной регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи – линейным коэффициентом корреляции r_xy. В нашем случае Близость коэффициента корреляции к 1 указывает на тесную линейную связь между признаками. По шкале Чеддока теснота этой связи характеризуется как весьма высокая.

Коэффициент детерминации показывает, что уравнением регрессии объясняется 98,2% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 1,8%.

Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью F -критерия Фишера. Рассчитаем наблюдаемое значение F -критерия:

.

Критическое значение F -статистики при уровне значимости равно 4,6.

Так как , то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и доверительных интервалов по формулам (3.4) вычислим стандартные ошибки коэффициентов регрессии. В нашем случае имеем , .

Вычислим наблюдаемые значения t-статистики Стьюдента:

, .

Критическое значение t-статистики Стьюдента при уровне значимости α = 0,05 равно 2,447. Так как неравенство выполняется для обоих коэффициентов регрессии, то признается их статистическая значимость.

Доверительные интервалы для каждого коэффициента регрессии имеют вид:

, .

Зная точечные оценки коэффициентов регрессии, их стандартные ошибки и критическое значение -статистики Стьюдента , находим, что

, .

Средняя ошибка аппроксимации говорит о хорошей точности уравнения регрессии, т.е. свидетельствует о хорошей подгонке модельных (теоретических) данных к исходным данным.

Итак, качество модели является высоким, а значит, уравнение регрессии пригодно для практического использования (для прогнозирования).

Найдем прогнозное значение результативного фактора при значении признака-фактора, составляющем 110% от среднего уровня дохода семьи. Так как , то . Следовательно, необходимо определить прогноз расходов на питание, если душевой доход семьи составляет 9,845 тысяч денежных единиц.

Для вычисления точечного прогноза подставим значение в полученное уравнение линейной регрессии . Получим: (тысяч денежных единиц). Значит, если душевой доход семьи составляет 9845 денежных единиц, то расходы на питание будут 2489 денежных единиц.

Для построения доверительного интервала прогноза вычислим стандартную ошибку прогноза по формуле ,

где – стандартная ошибка регрессии. В нашем случае . Поэтому . Теперь нижняя и верхняя границы интервала прогноза при и определяются по формулам и . Окончательно находим, что доверительный интервал прогноза имеет вид . Таким образом, при душевом доходе, равном 9,845 тысяч денежных единиц, значение расходов на питание с вероятностью 0,95 находится в пределах от 2,114 до 2,864 тысяч денежных единиц.

В заключение на одном графике (рисунок 3.10) изобразим исходные данные и линию регрессии. Из графика видно, что построенная линейная модель достаточно качественно описывает взаимосвязь исследуемых показателей.

Рис. 3.10. Исходные данные и линия регрессии примера 3.4

Пример 3.5. Применив экспериментальный метод, на основе статистических данных (таблица 3.11) о розничной торговле в Республике Беларусь исследовать зависимость розничного товарооборота от числа объектов розничной торговой сети .

Требуется:

1) С помощью вкладки «Мастер диаграмм» по заданным статистическим данным построить точечный график (корреляционное поле) и произвести визуальный анализ эмпирических данных.

2) Среди экспоненциальной, логарифмической, степенной, полиномиальной и линейной регрессионных парных моделей с помощью инструмента «Линия тренда» выбрать уравнение регрессии, которое наилучшим образом соответствует расположению точек корреляционного поля.

3) По выбранному уравнению определить точечный коэффициент эластичности, предполагая, что число объектов сети равно 42 тысячи.

4) По построенной модели выполнить точечный прогноз розничного товарооборота при прогнозном значении числа объектов розничной торговой сети, равном 44 тысячам.

Таблица 3.11. Статистические данные примера 3.5

Год	Число объектов розничной торговой сети, тыс.	Розничный товарооборот в фактически действовавших ценах, млрд руб.
2000	30,8	4197
2001	29,7	8171
2002	29,6	11910
2003	31,1	15170
2004	32,8	19452
2005	34,2	25230
2006	35,4	31062
2007	36,1	38168
2008	41,0	50651
2009	43,4	54736