4.5. Прогнозирование по множественной регрессионной модели

Под прогнозом по множественной регрессионной модели понимается оценка значения зависимой переменной для значений объясняющих переменных, которых нет в исходных наблюдениях. Как и в случае парной модели, различают точечный и интервальный прогнозы.

Точечный прогноз по уравнению регрессии осуществляется путем подстановки значений регрессоров в уравнение регрессии. В случае линейной модели имеем значение . Для классической линейной модели полученный точечный прогноз является несмещенным.

В дополнение к точечному прогнозу можно определить (по аналогии с парным случаем) границы возможного изменения прогнозируемого показателя, т.е. с заданным уровнем значимости вычислить доверительный интервал для прогнозируемого значения зависимой переменной .

Для компактного описания стандартной ошибки прогноза в случае линейной множественной регрессии введем следующие матричные обозначения:

– матрица наблюдаемых значений факторов , , ..., (в матрицу дополнительно вводится столбец, все элементы которого равны 1; матрица имеет строк и столбец);

– вектор-столбец значений факторов , , ..., , для которых необходимо найти интервальный прогноз (вектор-столбец дополняется в первой строке элементом 1).

Пусть – транспонированная матрица для матрицы , а .

Тогда стандартная ошибка прогноза определяется по формуле

(4.4)

где – стандартная ошибка регрессии, – матрица, обратная к матрице .

Затем строится доверительный интервал прогноза

,

т.е. определяются нижняя и верхняя границы интервала прогноза (за середину доверительного интервала выбирается точечная оценка , а отступ от нее пропорционален критическому значению и стандартной ошибке регрессии ).

4.6. Фиктивные переменные

При постановке ряда регрессионных задач приходится рассматривать зависимость некоторого показателя не только от количественных переменных, принимающих значения из определенных числовых интервалов, но также зависимость его от ряда факторов, имеющих два и более качественных уровня. Такая ситуация имеет место, в частности, в следующих примерах.

1. Исследуется зависимость заработной платы работников предприятия от стажа и уровня образования. При такой постановке задачи объясняющими факторами будут стаж работы x₁ и уровень образования x₂. Но если фактор x₁ имеет явно выраженный количественный характер (он может принимать любые значения в интервале, например, от 0 до 70), то фактор x₂ характеризуется только тремя уровнями: «начальное образование», «среднее образование», «высшее образование».

2. Строится модель взаимодействия цены и спроса на некоторый товар с учетом сезонности продаж. В этой модели качественный характер имеет фактор времени года. Он принимает только два значения: «зимний период», «летний период».

Существуют два принципиально различных подхода в решении приведенных задач. Первый заключается в том, чтобы для каждого уровня качественного признака построить и оценить свою регрессионную модель (в первом примере таких моделей будет три, а во втором – две), а затем изучить различия между ними. Другой подход состоит в том, чтобы качественные факторы некоторым образом ввести в одно уравнение регрессии, а затем исследовать это уравнение.

Качественные факторы, рассматриваемые как переменные регрессионной модели, называются в эконометрике фиктивными (или манекенными) переменными. В противоположность значащим переменным, отражающим количественную сторону показателя, фиктивные переменные играют роль индикаторов, сигнализирующих об уровне рассмотрения задачи. Поэтому фиктивные переменные часто еще называют индикаторами.

В качестве фиктивных переменных обычно используются так называемые дихотомические переменные, которые имеют только два уровня (например, «фактор действует» – «фактор не действует», «сезон летний» – «сезон зимний», «пол мужской» – «пол женский»).

Главная задача фиктивных переменных – отражение в модели значения качественных факторов, которые порой существенно влияют на структуру связей между значащими переменными и приводят к скачкообразному изменению параметров регрессионной модели.

Коэффициент регрессии при фиктивной переменной интерпретируется как среднее изменение зависимой переменной при переходе от одного уровня к другому при неизменных значениях других факторов. На основе t-критерия Стьюдента можно сделать вывод о значимости влияния фиктивной переменной, существенности расхождения на разных уровнях рассмотрения задачи.