Задание 14. Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных.

1. Найти область определения функции и изобразить ее:

2. Найти дифференциал функции в точке М(1; - 2)

14.3 Дана функция z = f(x;y). Найти: , , , , : z =

14.4 Дана функция z = f(x;y), точка М( х ; y ) и вектор = {х ;у }. Найти:

а) производную в точке М по направлению вектора ; б) grad z в точке М.

z = x –y + 3y² + x²; М( 1; 2) и вектор = {5;-12}.

14.5 Найти точки экстремума функции f(x) =-3 x² - 2xy - 3 y² - 12x +12y - 25

14.6 Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке С(х ;y ;z ):

z = x –y + 3y² + x² ; С(-1;2;z )

Методические указания по выполнению контрольной работы.

Цель контрольной работы: закрепить теоретические знания для решения практических задач, рассмотреть вопросы, оставленные для самостоятельного изучения, приобрести практические навыки.

Работа выполняется в тетради от руки или на стандартных листах на компьютере.

При выполнении контрольной работы следует соблюдать следующие требования:

• указать номер варианта;

• в решении задач указывать формулы и их расшифровку;

• расчеты должны быть теоретически обоснованы, содержать пояснения и выводы;

• работа должна содержать титульный лист, задания, решение, заключение (ответ).

Вариант 3.

Задание 1. Комплексные числа.

1.1. Построить числа на комплексной плоскости: , , , ,

,

1.2. Выполнить действия: a) ; б) , в) , г) ,

если , .

1.3. Записать комплексное число в тригонометрической и показательной форме:

1.4. Записать комплексные числа в алгебраической форме: Z₁= e ^p/4i , Z₂= 2(cos2p+i sin2p)

1.5. Возвести в степень: ( /2+ /2 i )⁴

Задание 2. Матрицы.

Вычислить: 2А – В + АВ, если ,

Задание 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ.

Решить систему методом Крамера, методом Гаусса и матричным методом:

Задание 4. Прямая на плоскости.

В АВС даны координаты вершин: , ,

4.1. Построить чертеж. 4.2. Найти периметр треугольника.

4.3. Составить уравнения сторон треугольника. 4.4.Составить уравнение прямой вn // ас.

4.5. Составить уравнение медианы сд. 4.6.Уравнение высоты ае, найти ее длину.

4.7. Найти углы треугольника. 4.8. Найти координаты центра тяжести.

Задание 5. Прямая и плоскость.

Даны координаты вершин пирамиды А А А А . А (1; 3; 2), А (-1; 4; 3), А (-1; 2; 7), А (1; 4; 9). Найти:

5.1) длину ребра А А ; 5.2) угол между ребрами А А и А А ;5.3) уравнение прямой А А ;

5.4) площадь грани А А А ; 5.5) объем пирамиды; 5.6) уравнение плоскости А А А ;

5.7) угол между ребром А А и гранью А А А ; 5.8)уравнение высоты и ее длину, опущенной

из вершины А на грань А А А ; 5.9) сделать чертеж.

Задание 6. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

1.Найти координаты вершины и фокусов параболы, составить уравнения оси и директрисы параболы:

а) у² –4у -4х +16=0, б/ х²+6х +12х -3=0.

2. Построить кривые по данным уравнениям: а) (х +4) +(у -3) = 25; б) , в)

Задание 7. Предел функции.

7.1. Вычислить предел функции при х х : f(x) = а) х = -2; б) х = -1; в) х = .

7.2. Вычислить предел функции при х х : f(x) = х = 4.

7.3. Вычислить предел функции при х 0: f(x) =

7.4. Вычислить предел функции при х : f (x) =

Задание 8. Найти производные функций:

а) у = , б) у = , в) у = arccos4x · e , г) y = arctg ln 5x

Задание 9. Применение производной.

а) Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой у =3х² - 7х + 2, в точке, с абсциссой x₀ = 1 .

б) Найти максимальную скорость, если точка движется по закону S(t) = -1/6 t³+ 4t² + 5

в) Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = -x³ +27x + 4 на 0; 4

Задание 10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ.

Исследовать данные функции методом дифференциального исчисления и построить их графики:

а) у = х -9х +24х -18 б) у =

Задание 11. Интегральное исчисление.