Вариант 8. Задание 1. Комплексные числа.

1.1. Построить числа на комплексной плоскости: z₁ = - 6 + i, z₂ = 7 + 3i, z₃ = 8i, z₄ = - 3, z₅ = - 2 – 3i, z₆ = 2 – 6i

1.2. Выполнить действия: a) ; б) , в) , г) ,

если Z₁ =-3-2i, Z₂ = 1+3i

1.3. Записать комплексное число в тригонометрической и показательной форме:

1.4. Записать комплексные числа в алгебраической форме: Z₁= 8e^{p / 3i} , Z₂= ( cos 3/4p+ i sin 3/4p)

1.5. Возвести в степень: ( 1 + i )⁴

Задание 2. Матрицы.

Вычислить: 2А – В + АВ, если ,

Задание 3. Системы уравнений. Решить систему методом Крамера, методом Гаусса и матричным методом: Задание 4. Прямая на плоскости

В АВС даны координаты вершин: , ,

4.1 .Построить чертеж. 4.2. Найти периметр треугольника.

4.3. Составить уравнения сторон треугольника. 4.4.Составить уравнение прямой ВN // АС.

4.5. Составить уравнение медианы СД. 4.6.Уравнение высоты АЕ, найти ее длину.

4.7. Найти углы треугольника. 4.8. Найти координаты центра тяжести.

Задание 5. Прямая и плоскость.

Даны координаты вершин пирамиды А А А А . А (6; 6; 5), А (4; 9; 5), А (4; 6; 11), А (6; 9; 3). Найти:

5.1) длину ребра А А ; 5.2) угол между ребрами А А и А А ; 5.3) уравнение прямой А А ;

5.4) площадь грани А А А ; 5.5) объем пирамиды; 5.6) уравнение плоскости А А А ;

5.7) угол между ребром А А и гранью А А А ; 5.8) уравнение высоты и ее длину, опущенной

из вершины А на грань А А А ; 5.9) сделать чертеж.

Задание 6. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

1.Найти координаты вершины и фокусов параболы, составить уравнения оси и директрисы параболы:

а) у²-2у-12х+13=0, б) х²-4х-12у+16=0.

2. Построить кривые по данным уравнениям: а) (х -3) +(у +4) = 25, б) , в)

Задание 7. Предел функции.

7.1. Вычислить предел функции при х х : f(x) = а) х = - 1; б) х = 2; в) х = .

7.2. Вычислить предел функции при х х : f(x) = х = 7

7.3. Вычислить предел функции при х 0: f(x) =

7.4. Вычислить предел функции при х : f (x) =

Задание 8. Найти производные функций:

а) у = , б) у = , в) у = cos6x · e , г) y = sin ln2x.

Задание 9. Применение производной.

а) Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой у = 1/2х² + 5х + 3 в точке, с абсциссой x₀ = 0 .

б) Найти максимальную скорость, если точка движется по закону S(t) = -1/6 t³+ 1/2t² + 1/2t + 1

в) Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = -1/3x³ + x² – 1 на 0; 3

Задание 10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ.

Исследовать данные функции методом дифференциального исчисления и построить их графики:

а) у = -2х +3х +12х - 5 б) у =

Задание 11. Интегральное исчисление.

1.Найти неопределенный интеграл, проверить результат дифференцированием в заданиях а, б, в, г.

2. Вычислить неопределенный интеграл в заданиях д, е.

3.Вычислить определенный интеграл в задании ж.

а) б) 7 dx в)

г) д) е) ж)

Задание 12. Площадь фигуры.

С помощью определенного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж:

а) х - у +2 = 0, 3х + 4у -15 = 0, у = 0. б) у = х³ +1, у = х + 5, х = 0, х = -2.

Задание 13. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок на 10 частей, с точностью до 0,001: dx