15.Ду движения реальной ж-ти Новье-Стокса.

В реальной жидкости на каждый выделенный элементарный параллелепипед помимо сил давления, тяжести и инерции действуют также силы трения. Рассмотрим вначале случай одномерного плоского потока капельной жидкости вдоль оси х, когда проекция скорости W_x зависит только от расстояния Z.

В этом случае касательное направление трения возникает лишь на на поверхностях df=dzdy верхней и нижней граней. Согласно приведенному рисунку, боле медленные верхние слои затормаживают параллелепипед, а более быстрые нижние – разгоняют его. Проекция равнодействующей сил трения на ось x:

Учитывая, что , получим:

В более общем случае трехмерного потока, составляющая скорости W_x будет изменяться не только в направлении оси z, но и в направлении x, y, z. Тогда проекция равнодействующих сил трения на ось x примет вид:

Сумму вторых производных скоростей по осям координат называют оператором Лапласа:

Тогда равнодействующая сил трения на ось х представится как

Соответственно проекции равнодействующей сил трения на оси y и z, будут:

Тогда, в правую часть дифференциальных уравнений движения Эйлера для идеальной жидкости добавятся силы трения, и мы получим систему дифференциальных уравнений движения реальной жидкости (уравнение Павье – Стокса для вязкой капельной жидкости).

Полученные уравнения представляют собой уравнения Павье – Стокса, описывающие движение вязкой капельной жидкости.

16. Ур-е Бернулли, его энергетич-й смысл.

Интегрируя полученные уравнения Эйлера, получаем уравнение Бернулли, одно из наиболее применяемых уравнений гидродинамики. Умножая левые и правые части каждого из уравнений Эйлера соответственно на dx, dy, dz и разделив на плотность ρ, получим:

Учитывая, что , , , сложим полученные уравнения:

Так как , то

Но , тогда:

, или

, или

, или

Полученное уравнение для любых двух поперечных сечений 1 и 2 потока (трубопровода) можно представить в виде:

Полученное уравнение – это уравнение Бернулли для идеальной жидкости.

есть полное гидродинамическое давление, – динамическое (скоростное) давление, и – геодезическое и пьезометрическое давления. – представляет собой удельную потенциальную энергию положения . P – представляет собой удельную потенциальную энергию давления (сжатия жидкости). – характеризует полную удельную потенциальную энергию в данном сечении (точке). выражает удельную кинетическую энергию в данном сечении (точке). Удельная – то есть отнесенная к единице объема. Уравнение Бернулли является частным случаем закона сохранения энергии и выражает энергетический баланс потока, то есть при установившемся движении идеальной жидкости полное гидродинамическое давление не меняется при переходе от одного поперечного сечения к другому. Пьезометрическое и геодезическое давления в любой точке сечения направлены во все стороны одинаково. Динамическое давление направлено только по вектору скорости. Если плотность жидкости постоянная для любого сечения, то уравнение Бернулли можно записать:

Размерность величин: – удельные энергии на единицу веса.

Пьезометрические трубки.

В Г-образные трубки заходит . В прямые трубки – только пьезометрический напор.

Таким образом, Г-образные трубки замеряют сумму пьезометрического и динамического напоров. Прямые трубки – только пьезометрический напор.

Так как , то, согласно уравнению , а значит , . По разности уровней в Г-образной и прямой трубках можно определить динамический напор в сечениях.

Приведенный пример демонстрирует взаимный переход потенциальной энергии в кинетическую и наоборот при изменении площади сечения. При движении реальных жидкостей начинают действовать силы внутреннего трения, а значит, возникает сопротивления перемещению жидкости, так называемое Гидравлическое сопротивление, на преодоление которого должна расходоваться некоторая часть энергии (давления). Тогда уравнение Бернулли для реальных жидкостей: ,

где – потерянное давление.