13. Вывод ур-я неразрывности потока.

Выделим в потоке элементарный параллелепипед объемом dV=dxdydz, ребра dx, dy, dz которого параллельны осям x, y, z декартовой системы координат.

Пусть проекция скорости потока на ось х в точках, лежащих на левой грани параллелепипеда площадью dS=dxdydz, равна W_x. Так как Q=W·S и G=W·S·ρ, то через грань в параллелепипед войдет за время dτ масса жидкости M_x=W_x·ρ·dxdydz. На противоположной (правой) грани параллелепипеда скорость и плотность жидкости будут равны ( ) и ( ). Тогда через правую грань параллелепипеда за время dτ выйдет масса жидкости:

Тогда изменение массы в параллелепипеде будет вдоль оси х:

Аналогично для осей y и z:

;

Общее накопление массы жидкости в параллелепипеде за время dτ равно сумме ее приращений всех осей координат:

Если объем параллелепипеда полностью заполнен жидкостью, то изменение массы жидкости в нем возможно лишь при изменении плотности:

Тогда, приравнивая оба dM, получим:

Получим дифференциальное уравнение неразрывности потока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости. Раскладывая производные произведения, получим иную форму:

т.к. – субстанциональная производная, то уравнение перепишем:

В установившемся режиме плотность жидкости не изменяется во времени, т.е.

Тогда .

Для капельных жидкостей, которые практически несжимаемы и для газов в условиях изотермического потока при скоростях, существенно меньших скорости звука, ρ=const, тогда – дифференциальное уравнение неразрывности установившегося потока несжимаемой жидкости. Т.к. ,

Чтобы перейти от элементарного объема к конечному объему движущейся жидкости необходимо проинтегрировать. Часто встречаются однонаправленные потоки. Если поток движется однонаправлено (например по оси х) и сечение потока не изменяется, то ρW=const. Если площадь сечения S потока величина переменная, то, интегрируя еще и по площади, получим ρW·S =const.

Для трех различных сечений потока: ρ₁ W₁·S₁=ρ₂ W₂·S₂=ρ₃ W₃·S₃

или М₁=М₂=М₃ – уравнение неразрывности потока в интегральной форме для установившегося движения (также его называют уравнением постоянства расхода). Для капельных жидкостей ρ₁= ρ₂= ρ₃=const, W₁·S₁=W₂·S₂= W₃·S₃ =const или Q₁= Q₂= Q₃

уравнение постоянства расхода является частным случаем закона сохранения массы и выражает материальный баланс потока.

14. Ду движения идеальной ж-ти Эйлера

Рассмотрим становившейся поток идеальной жидкости, т.е. жидкости, не обладающей вязкостью. Аналогично с дифференциальными уравнениями равновесия Эйлера, выделим в потоке элементарный параллелепипед с объемом dV=dxdydz c ребрами, параллельными осям x, y, z. Сумма проекций на оси координат сил тяжести и давления, действующие на параллелепипед, будут:

для оси x:

для оси y:

для оси z:

Согласно второму закону динамики Ньютона, сумма проекций сил, действующих на движущейся элементарный объем жидкости, равна произведению массы этой жидкости на ее ускорение, т.е. силе инерции

.

Масса жидкости объемом dV равна

Ускорение жидкости выразим как производную скорости по времени , а проекции ускорения по оси координат: , , , где , , – составляющие скоростей вдоль осей x, y, z. Тогда применив 2-ой закон Ньютона в проекциях:

Сокращая на dV=dxdydz, получим:

Получим систему дифференциальных уравнений движения Эйлера. Для установившегося потока субстанциональная производная соответствующих составляющих скоростей:

При неустановившемся движении в субстанциональные производные включаются частные производные проекций скоростей по времени