5. Гидростатика. Ду равновесия ж-ти Эйлера.

В гидростатике изучается равновесие жидкостей, находящихся в состоянии относительного покоя. При этом частицы не перемещаются друг относительно друга и относительно стенок емкости (сосуда), в котором она находится. При этом силы внутреннего трения отсутствуют , а жидкость считается идеальной. Однако в этом случае на частицу всегда действует сила тяжести и давления, а в случае перемещения емкости с жидкостью необходимо учесть силу инерции переносного движения жидкости.

Элементарная сила тяжести направлена вниз параллельно оси z. Величина ее проекции на ось z определяется как: .Проекции силы тяжести на оси x и y равны 0. Давление в жидкости является функцией трех координат p= f(x, y, z). Сила гидростатического давления действует на нижнюю грань параллелепипеда по нормали, а ее проекция на ось z равна .Если скорость изменения этого давления (т.е. производная) в точке равна , то изменение давления по ребру dz есть дифференциал . Тогда гидростатическое давление на верхнюю грань равно и проекция силы давления на ось z .Проекция равнодействующей силы давления на ось z

Сумма проекций силы тяжести и силы давления на ось z равна 0, т.е.

.Так как объем параллелепипеда не равен нулю, то .Проекции сил тяжести на оси x и y равны нулю. Поэтому для оси x по аналогии получим или

;

Аналогично для оси y

Итак получили систему уравнений, , которая называется системой дифференциальных уравнений Эйлера. При интегрировании данной системы получается основное уравнение гидростатики.

6.Основное ур-е гидростатики.

Так как в системе уравнений Эйлера частные производные , то частная производная может быть заменена на полную производную .

Тогда .

Разделяя переменные, получим , интегрируя или

Для двух произвольных горизонтальных плоскостей 1 и 2 уравнение запишем:

– это основное уравнение гидростатики. Для рисунка или

Член z называется нивелирной высотой или геодезическим напором. Ее размерность [м]. Величину называют напором давления или пьезометрическим напором.

Согласно основному уравнению гидростатики, для любой точки покоящейся жидкости сумма нивелирной высоты и пьезометрического напора есть величина постоянная. Нивелирная высота также называется геометрическим (высотным) напором.

Основное уравнение можно записать и в форме

или . Это – закон Паскаля, согласно которому давление, создаваемое в любой точке покоящейся несжимаемой жидкости, передается одинаково всем точкам ее объема.

Действительно, при любом изменении давления P₀ в точке z₀ давление P во всякой другой точке жидкости изменится на столько же.

Следствие: сила давления P на горизонтальное дно сосуда не зависит от формы сосуда, а определяется лишь плотностью жидкости и ее уровнем над дном H:

Для вертикальной стенки P изменяется по высоте, а сила , где h – расстояние от верхнего уровня жидкости до центра тяжести площади F.

Точка приложения равнодействующей P называется центром давления. Эта точка расположена ниже центра тяжести.

Самостоятельно про сообщающиеся сосуды и гидравлические машины.

7.Ур-е Паскаля. Практические приложения з-нов гидростатики.

Основное уравнение можно записать и в форме или . Это – закон Паскаля, согласно которому давление, создаваемое в любой точке покоящейся несжимаемой жидкости, передается одинаково всем точкам ее объема. Действительно, при любом изменении давления P₀ в точке z₀ давление P во всякой другой точке жидкости изменится на столько же. Следствие: сила давления P на горизонтальное дно сосуда не зависит от формы сосуда, а определяется лишь плотностью жидкости и ее уровнем над дном H: Для вертикальной стенки P изменяется по высоте, а сила , где h – расстояние от верхнего уровня жидкости до центра тяжести площади F.

Точка приложения равнодействующей P называется центром давления. Эта точка расположена ниже центра тяжести.

Самостоятельно про сообщающиеся сосуды и гидравлические машины.

Ур-е Паскаля также применяется для рсчета сообщ-ся сосудов,в частности гидравлического пресса.