30. Понятие первообразной. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Понятие об основных методах интегрирования (замена переменной, интегрирование по частям).

Дифференциальное уравнение называется соотношение, связывающее независимую переменную , искомую ф-ию и её производные. Если искомая ф-ция есть ф-ция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение наз-я обыкновенным. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, наз-я порядком данного уравнения. След-о, общий вид ДУ n-го порядка следующий: = 0. (1)

Ф-ция , которая при подстановке её в уравнение (1) обращает это уравнение в тождество, наз-я решением этого уравнения.

ДУ первого порядка. ДУ 1-го порядка имеет общий вид (2) или вид , (3) если уравнение (2) можно разрешить относительно .

Решение уравнение (3), содержащее произвольную постоянную , т.е. имеющее вид , наз-я общим рядом этого уравнения. Иногда решение получается в неявной форме или . Такое решение называют общим интегралом уравнения (2). Решение, которое получается из общего при некотором фиксированном значении произвольной постоянной , наз-я частным решением. Условие, что при ф-ция должна равняться числу , наз-я начальным условием. Начальное условие даёт возможность выделить из общего решения частное решение.

Уравнение вида (4) наз-я уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнение (4) можно записать в виде

, .

Делим обе части уравнения на .

Интегрируя обе части, получаем общий интеграл уравнения (4):

.

Ф-ция наз-я однородной измерения , если имеет место тождество

Уравнение наз-я однородным ДУ 1-го порядка, если ф-ции и  однородные ф-ции одного и того же измерения.

С помощью подстановки , где  некоторая новая искомая ф-ция от , однородное уравнение производится к уравнению с разделяющимися переменными.

Уравнение наз-я линейным ДУ 1-го порядка.

Для решения используют подстановку , где  новая неизвестная ф-ция, выбирают специальным образом. , . Ф-цию выбирают так, чтобы .

31. Определённый интеграл и его свойства. Теорема об оценке определённого интеграла. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Основные методы интегрирования. Площадь криволинейной трапеции. Длина дуги кривой. Площадь поверхности вращения. Объём тела вращения.

Общий вид ДУ второго порядка

Общее решение этого уравнения содержит две независимые произвольные постоянные и . Если заданы начальные условия , при , то из системы

, можно определить постоянные и и частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным уравнениям.

Рассмотрим некоторые случаи, когда уравнение второго порядка решается применением операций неопределённого интегрирования:

1)Пусть . Интегрируя, получим . Интегрируя ещё раз, получим , где и  произвольные постоянные.

2)Пусть . Положим . Тогда .

След-о, исходное уравнение принимает вид . Разделяя переменные, получим .

Интегрируя последнее уравнение, находим

или , . Разделим переменные . Тогда

.

3)Пусть . Полагаем . Тогда и данное уравнение принимает вид .

Разделяя переменные и интегрируя, последовательно будем иметь , .

Определив из этого уравнения величину , путём вторичного интегрирования можно найти и .

Два случая, когда ДУ второго порядка (*) приводится к ДУ первого порядка.

1) Пусть уравнение (*) имеет вид . Полагая и , получим ДУ первого порядка , где роль независимой переменной играет .

2) Пусть уравнение (*) имеет вид . Полагая и , получим уравнение первого порядка с неизвестной функцией .

Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

1. Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: (*). Для решения данного уравнения составляют характеристическое уравнение

Возможны три случая:

а) . Тогда  корни характеристического уравнения и уравнение (*) имеет общее решение вида .

b) . Тогда и общее решение уравнения (*) имеет вид .

с) . Тогда общее решение уравнения (*) имеет вид

.

2. Линейное неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: (**), где  постоянные числа,  известная ф-ция от .

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (**) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (*) и частного решения данного неоднородного уравнения.

Способ нахождения частного решения данного неоднородного линейного ДУ. При рассмотрении этой задачи можно ограничиться лишь простейшими правыми частями уравнения .

1) Правая часть уравнения есть показательная ф-ция, т.е. .

а)Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде .

б)Если характеристическое уравнение имеет два равных корня и  один из корней, то частное решение ищем в виде .

В)Если характеристическое уравнение имеет два одинаковых корня, равных числу , то частное решение ищут в виде .

2) Правая часть неоднородного уравнения есть тригонометрический полином .

Частное решение ищут в форме тригонометрического полинома , где и неопределённые коэффициенты, или .

3) Правая часть линейного уравнения представляет собой многочлен, например, второй степени

. Ищем частное решение этого уравнения в виде , где неопределённые коэффициенты, если . Если же , то при частное решение ищем в виде .

13