25. Понятие непрерывности функций. Классификация точек разрыва.
Пусть
дана ф-ция
,
определённая на [
],
где
.
Отрезок [
]
точками
=
разобьём на n
элементарных отрезков
,
,
…,
,
длины которых обозначим через
,
т.е.
,
k=1,2,…,n.
В каждом из элементарных отрезков
выберем произвольно одну точку
,
значение ф-ции f(
)
умножим на длину отрезка
и составим сумму всех таких произведений
Sn
=
(1)
Сумма (1) наз-я интегральной суммой для функции на [ ]. Обозначим через λ длину наибольшего из элементарных отрезков , т.е.
λ=max , k=1,2,…,n.
Опред-е: Определённым интегралом от ф-ции на [ ] наз-я, конечный предел её интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю.
Обозначается:
.
наз-я подинтегральной функцией,
─ переменной
интегрирования,
─ нижним
пределом интегрирования,
─ верхним
пределом интегрирования.
След-о, по определению:
=
(3)
Из определения следует, что величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.
=
= … =
.
Функция, для которой существует предел (3), называется интегрируемой на [ ].
Геометрический
смысл определённого интеграла состоит
в том, что если
и f(x)≥0,
то определённый интеграл от функции
по отрезку [
]
равен площади криволинейной трапеции,
ограниченной сверху графиком функции
,
слева и справа прямыми
,
снизу
осью
.
Св-а определенного интеграла:
1. По определению полагаем
= 0.
2. при перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный, т.е.
=
−
.
3. Св-о аддитивности.
Если
промежуток интегрирования [
]
разбит на конечное число отрезков
,
,
…,
,
то
=
+
+ … +
.
4.
Постоянный
множитель можно выносить за знак
определённого интеграла, т.е.
=
.
5.
Определённый
интеграл от алгебраической суммы
конечного числа интегрируемых функций
равен алгебраической сумме интегралов
от этих функций,
=
+…+
.
6.
если
ф-ция
интегрируема на [
],
где
,
и
≥0 для всех
[
],
то
≥ 0.
7. Если ф-ции , φ(x) интегрируемы на [ ], где , и ≤ φ(x) для всех [ ] , то
≤
.
8. Если фция интегрируема на [ ], где , то функция │ │ также интегрируема на [ ], причём
.
Теорема (об оценке определённого интеграла).
Если ф-ция интегрируема на отрезке [ ], где , и для всех [ ] выполняется неравенство
m ≤ ≤ M, то m(b-a) ≤ ≤ M(b-a). (*)
Доказ-о:
На
основании свойства из неравенства m
≤ f(x)
≤ M
находим, что
≤
≤
.
Из свойства определенного интеграла (Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.
=
)имеем:
≤
≤
.
Покажем, что
=
.
Действительно,
=
=
=
.
Теперь получаем
m ≤ ≤ M .
Теорема доказана.
Неравенство (*) позволяет оценить определённый интеграл, т.е. указать границы, между которыми заключено его значение.
Теорема
(о среднем значении). Если
функция
непрерывна на отрезке [
],
то на этом отрезке существует точка
такая, что
=
(**).Формула
(**) наз-я формулой
среднего значения.
Доказ-о: Так как функция непрерывна на [ ], то по второй теореме Вейерштрасса, существует числа m и M такие, что m ≤ ≤ M, Тогда по теореме об оценке определённого интеграла находим
m(b-a)
≤
≤ M(b-a)
и след-о, m
≤
≤ M.
Положим
= μ, (m
≤ μ
≤ M).
Так
как μ заключено между наименьшим и
наибольшим значениями непрерывной
функции
на
[
],
то, учитывая вторую теорему Больцано-Коши,
можем указать точку
[
]
такую, что
= μ.
Таким образом, = . Теорема доказана.
25.3.
Рассмотрим
функцию
,
интегрируемую на [
].
Если
[
],
то функция f(x)
интегрируема также на любом отрезке
[
].
Предположим, что
меняется на [
],
тогда на этом интеграле определена
функция
Ф(
)
=
,
где
─ переменная интегрирования,
─ переменный верхний предел. Эту ф-цию
называют определённым
интегралом с переменным верхним
пределом.
Св-о 1. Определённый интеграл с переменным верхним пределом является непрерывной на [ ] функцией.
Св-о 2. Если подинтегральная функция непрерывна, то производная определённого интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подинтегральной функции для этого предела интегрирования, т.е.
=
f(x).
Следствие. Определённый интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подинтегральной функцией, т.е. для любой непрерывной функции существует производная.
Теорема (о формуле Ньютона-Лейбница).
Пусть ф-ция непрерывна на отрезке [ ]. Тогда, если функция F(x) является некоторой её первообразной на этом отрезке, то справедлива следующая формула
= F( ) – F( ). (формула Ньютона-Лейбница).
Доказ-о:
Пусть
Ф(х) является первообразной для функции
на [
].
Пусть F(x)
─ некоторая постоянная. Подставим в
последнее равенство
.Тогда
= F(
)
+ C,
т.е. О = F(
)
+ C,
откуда С = − F(
).
Итак,
для любого
[
]
= F(
)
– F(
).
Полагая
,
получим
= F(
)
– F(
).
Теорема доказана.
Разность
F(
)
– F(
)
принято условно записывать в виде
F(
)
.
Тогда формула Ньютона-Лейбница принимает
вид
= F( ) . Эта формула не только устанавливает связь между определённым и неопределённым интегралами, но и даёт простой метод вычисления определённого интеграла.
К таким относятся методы: замены переменной; интегрирования по частям.
Теорема (о замене переменной в определённом интеграле).
Пусть ─ непрерывная функция на отрезке [ ]. Тогда если:
1)
функция
= φ(t)
дифференцируема на
и φ'(t)
непрерывна на
;
2) множеством значений функции = φ(t) является отрезок [ ];
3)
φ
,
φ
,
то справедлива формула
=
(*)
Доказ-о:
По
формуле Ньютона-Лейбница
=
,
где
некоторая первообразная для
на
.
Рассмотрим сложную функцию
.
По правилу дифференцирования сложной
функции
.
То означает, что функция
является первообразной для функции
,
непрерывной на
,
и, поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница
получаем
=
=
=
=
.
Теорема доказана.
Формула (*) называется формулой замены переменной или подстановки в определённом интеграле.
Замечание 1. Если при вычислении неопределённого интеграла с помощью замены переменной мы возвращались от новой переменной к старой, то при замене переменной в определённом интеграле делать этого не надо.
Теорема (об интегрировании по частям в определённом интеграле).
Если
функции
и
непрерывны вместе со своими производными
и
на
,
то справедлива формула
(**)
(формула
интегрирования по частям в определённом
интеграле).
Доказ-о:
Так
как ф-ции
и
имеют по условию производные, то по
правилу дифференцирования произведения
,т.е.
ф-ция
является первообразной для функции
.
Так как эта функция непрерывна на
,
то она интегрируема на этом отрезке и
по формуле Ньютона-Лейбница
=
.
Тогда
=
,
откуда
.
Теорема доказана.
Определённый интеграл от неотрицательной непрерывной функции на равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа прямыми , снизу осью .
Осью Oy
Пусть плоская кривая задана уравнением , где непрерывная на
функция.
Если производная
также непрерывна на
,
то длина дуги
данной кривой (Рис.19.5.) вычисляется по
формуле
.
Пусть
кривая
задана уравнением
,
,
и пусть функция
неотрицательна
и непрерывна вместе со своей первой
производной на
.
Тогда поверхность, образованная
вращением кривой
вокруг оси
(Рис.19.7.), имеет площадь
,
которая может быть вычислена по формуле
.
Если
же поверхность получается вращением
кривой
,
заданной уравнением
,
,
вокруг оси
,
то площадь такой поверхности вычисляется
по формуле
Рассмотрим
некоторое тело и вычислим его объём
.
Допустим, что известны площади сечений
этого тела плоскостями, перпендикулярными
оси
.
С изменением
меняется и площадь сечения, т.е. площадь
сечения является некоторой функцией
.
Если эта функция непрерывна на
,
то объём тела
.
В частности, если тело образовано
вращением вокруг оси
криволинейной трапеции, ограниченной
сверху дугой
непрерывной линии
,
где
(Рис.19.10.), то
и получаем формулу:
.
Если
же тело получено вращением вокруг оси
криволинейной трапеции, ограниченной
дугой
линии
,
,
то его объём
.