Транспортная задача. Поиск допустимого решения. Метод Фогеля.
Транспортная задача (классическая) — задача об оптимальном плане перевозок однородного продукта из однородных пунктов наличия в однородные пункты потребления на однородных транспортных средствах (предопределённом количестве) со статичными данными и линеарном подходе (это основные условия задачи).
Для классической транспортной задачи выделяют два типа задач: критерий стоимости (достижение минимума затрат на перевозку) или расстояний и критерий времени (затрачивается минимум времени на перевозку). Под названием транспортная задача, определяется широкий круг задач с единой математической моделью, эти задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены оптимальным методом. Однако, спец.метод решения транспортной задачи позволяет существенно упростить её решение, поскольку транспортная задача разрабатывалась для минимизации стоимости перевозок.
Методы решения
Классическую транспортную задачу можно решить симплекс-методом, но в силу ряда особенностей её можно решить проще (для задач малой размерности).
Условия
задачи располагают в таблице, вписывая
в ячейки количество перевозимого груза
из 
в 
груза 
,
а в маленькие клетки — соответствующие
тарифы 
.
Итерационное улучшение плана перевозок
Нахождение опорного плана
Требуется определить опорный план и путём последовательных операций найти оптимальное решение. Опорный план можно найти следующими методами: «северо-западного угла», «наименьшего элемента», двойного предпочтения и аппроксимации Фогеля.
Метод Фогеля
Метод Фогеля — один из методов получения начального решения транспортной задачи. В отличие от метода северо-западного угла или метода минимальных тарифов, генерирует наиболее приближенное к оптимальному начальное решение. Это решение, однако, также может потребовать окончательной оптимизации при помощи метода потенциалов.
Суть метода
Метод Фогеля состоит в вычислении для каждой строки транспортной таблицы разницы между двумя наименьшими тарифами. Аналогичное действие выполняют для каждого столбца этой таблицы. Наибольшая разница между двумя минимальными тарифами соответствует наиболее предпочтительной строке или столбцу (если есть несколько строк или столбцов с одинаковой разницей, то выбор между ними произволен). В пределах этой строки или столбца отыскивают ячейку с минимальным тарифом, куда пишут отгрузку. Строки поставщиков или столбцы потребителей, которые полностью исчерпали свои возможности по отгрузке или потребности которых в товаре были удовлетворены, вычеркиваются из таблицы (в примерах ниже они закрашиваются серым цветом), и вычисление повторяются до полного удовлетворения спроса и исчерпания отгрузок без учета вычеркнутых («серых») ячеек.
Числовой пример
В этом примере стоимость доставки в рублях за кг записана в ячейках в квадратных скобках.
|
Потребитель B1, потребность 20 кг |
Потребитель B2, потребность 30 кг |
Потребитель B3, потребность 30 кг |
Потребитель B4, потребность 10 кг |
Поставщик A1, запас 30 кг |
[2 руб./кг] |
[3 руб./кг] |
[2 руб./кг] |
[4 руб./кг] |
Поставщик A2, запас 40 кг |
[3 руб./кг] |
[2 руб./кг] |
[5 руб./кг] |
[1 руб./кг] |
Поставщик A3, запас 20 кг |
[4 руб./кг] |
[3 руб./кг] |
[2 руб./кг] |
[6 руб./кг] |
В эти же ячейки транспортной таблицы следует вписать объемы перевозки, чтобы распределить запасы поставщиков по потребителям.
Шаг 1
Вычислим разницы между двумя минимальными тарифами по строкам.
Строка 1: 2-2=0
Строка 2: 2-1=1
Строка 3: 3-2=1
И затем по столбцам.
Столбец 1: 3-2=1
Столбец 2: 3-2=1
Столбец 3: 2-2=0
Столбец 4: 4-1=3
Наиболее предпочтителен столбец 4, поскольку разница для него максимальна.
В столбце 4 найдем минимальную цену — 1 руб/кг в строке 2. В нашем примере это ячейка X24 (2-й поставщик, 4-й потребитель), где цена доставки = 1 руб./кг. Вписываем в эту ячейку максимальный объем, который позволяет запас поставщика и спрос потребителя (берем минимум между 40 и 10 кг, то есть 10 кг). Поскольку спрос потребителя полностью удовлетворен, закрашиваем соответствующий столбец в серый цвет.
|
Потребитель B1, потребность 20 кг |
Потребитель B2, потребность 30 кг |
Потребитель B3, потребность 30 кг |
Потребитель B4, потребность 10-10=0 кг |
Поставщик A1, запас 30 кг |
[2 руб./кг] |
[3 руб./кг] |
[2 руб./кг] |
[4 руб./кг] |
Поставщик A2, запас 40-10=30 кг |
[3 руб./кг] |
[2 руб./кг] |
[5 руб./кг] |
[1 руб./кг] 10 кг |
Поставщик A3, запас 20 кг |
[4 руб./кг] |
[3 руб./кг] |
[2 руб./кг] |
[6 руб./кг] |
Шаг 2
Вычислим разницы между двумя минимальными тарифами по строкам (не учитывая закрашенные серым и распределенные ячейки — см. таблицу выше).
Строка 1: 2-2=0
Строка 2: 3-2=1
Строка 3: 3-2=1
И затем по столбцам.
Столбец 1: 3-2=1
Столбец 2: 3-2=1
Столбец 3: 2-2=0
Есть несколько строк и столбцов с одинаковой предпочтительностью, возьмем любую из них, например строку 2, а в ней — выберем минимальный тариф, не учитывая (см. таблицу выше) закрашенные ячейки.
В нашем примере это ячейка X22 (2-й поставщик, 2-й потребитель), где цена доставки = 2 руб./кг.
Вписываем в эту ячейку максимальный объем, который позволяет запас поставщика и спрос потребителя (30 кг). Поскольку спрос потребителя полностью удовлетворен, закрашиваем соответствующий столбец в серый цвет. Возможности поставщика также исчерпаны, закрашиваем в серый цвет также и строку.
|
Потребитель B1, потребность 20 кг |
Потребитель B2, потребность 30-30=0 кг |
Потребитель B3, потребность 30 кг |
Потребитель B4, потребность 10-10=0 кг |
Поставщик A1, запас 30 кг |
[2 руб./кг] |
[3 руб./кг] |
[2 руб./кг] |
[4 руб./кг] |
Поставщик A2, запас 40-10-30=0 кг |
[3 руб./кг] |
[2 руб./кг] 30 кг |
[5 руб./кг] |
[1 руб./кг] 10 кг |
Поставщик A3, запас 20 кг |
[4 руб./кг] |
[3 руб./кг] |
[2 руб./кг] |
[6 руб./кг] |
Шаг 3
Вычислим разницы между двумя минимальными тарифами по строкам (не учитывая закрашенные серым и распределенные ячейки — см. таблицу выше).
Строка 1: 2-2=0
Строка 3: 4-2=2
И затем по столбцам.
Столбец 1: 4-2=2
Столбец 3: 2-2=0
Есть строка и столбец с одинаковой предпочтительностью (максимальной разницей тарифов, равной 2 руб./кг), возьмем любой из них, например строку 3, а в ней — выберем минимальный тариф, не учитывая (см. таблицу выше) закрашенные ячейки.
В нашем примере это ячейка X33 (3-й поставщик, 3-й потребитель), где цена доставки = 2 руб./кг.
Вписываем в эту ячейку максимальный объем, который позволяет запас поставщика и спрос потребителя (минимальное значение между 20 и 30 кг, то есть 20 кг). Поскольку возможности поставщика полностью исчерпаны, закрашиваем соответствующую строку в серый цвет.
|
Потребитель B1, потребность 20 кг |
Потребитель B2, потребность 30-30=0 кг |
Потребитель B3, потребность 30-20=10 кг |
Потребитель B4, потребность 10-10=0 кг |
Поставщик A1, запас 30 кг |
[2 руб./кг] |
[3 руб./кг] |
[2 руб./кг] |
[4 руб./кг] |
Поставщик A2, запас 40-10-30=0 кг |
[3 руб./кг] |
[2 руб./кг] 30 кг |
[5 руб./кг] |
[1 руб./кг] 10 кг |
Поставщик A3, запас 20-20=0 кг |
[4 руб./кг] |
[3 руб./кг] |
[2 руб./кг] 20 кг |
[6 руб./кг] |
Шаг 4
Заполнение оставшихся ячеек (см. таблицу выше) безальтернативно, алгоритмически (если мы пишем программу для ЭВМ) присваиваем разницы = 0, если число нераспределенных ячеек в строке или столбце меньше двух.
|
Потребитель B1, потребность 20 кг |
Потребитель B2, потребность 30-30=0 кг |
Потребитель B3, потребность 30-20-10=0 кг |
Потребитель B4, потребность 10-10=0 кг |
Поставщик A1, запас 30-20-10=0 кг |
[2 руб./кг] 20 кг |
[3 руб./кг] |
[2 руб./кг] 10 кг |
[4 руб./кг] |
Поставщик A2, запас 40-10-30=0 кг |
[3 руб./кг] |
[2 руб./кг] 30 кг |
[5 руб./кг] |
[1 руб./кг] 10 кг |
Поставщик A3, запас 20-20=0 кг |
[4 руб./кг] |
[3 руб./кг] |
[2 руб./кг] 20 кг |
[6 руб./кг] |
Дальнейшая оптимизация решения
Полученный результат распределения составляет 2*20+2*10+2*30+1*10+2*20 = 170 рублей. Метод минимальных тарифов на этом же примере дал результат стоимостью 210 рублей, а метод северо-западного угла — 290 руб., то есть — наименее оптимальный. Проверить этот результат на оптимальность и, при необходимости, окончательно его оптимизировать можно при помощи метода потенциалов(который в этом примере показывает, что это распределение оптимально).
Программная реализация
В коде для 1С:Предприятие 8.2 по ссылке метод представлен функцией Распределение Методом Фогеля и шестью функциями, имя которых начинается подстрокой «Фогель».
Заключение.
В данной контрольной работе было детально изучено применения метода Фогеля при нахождении допустимого решения.
Оптимальное решение является результатом одного из видов выбора (критериального выбора). Изучением проблем, связанных с выбором оптимальных решений, занимаются теория исследования операций и теория принятия решений.
Тео́рия приня́тия реше́ний — область исследования, вовлекающая понятия и методы математики, статистики, экономики, менеджмента и психологии с целью изучения закономерностей выбора людьми путей решения разного рода задач, а также способов поиска наиболее выгодных из возможных решений.
Метод Фогеля — один из методов получения начального решения транспортной задачи. В отличие от метода северо-западного угла или метода минимальных тарифов, генерирует наиболее приближенное к оптимальному начальное решение. Это решение, однако, также может потребовать окончательной оптимизации при помощи метода потенциалов.
Суть метода
Метод Фогеля состоит в вычислении для каждой строки транспортной таблицы разницы между двумя наименьшими тарифами. Аналогичное действие выполняют для каждого столбца этой таблицы. Наибольшая разница между двумя минимальными тарифами соответствует наиболее предпочтительной строке или столбцу (если есть несколько строк или столбцов с одинаковой разницей, то выбор между ними произволен). В пределах этой строки или столбца отыскивают ячейку с минимальным тарифом, куда пишут отгрузку. Строки поставщиков или столбцы потребителей, которые полностью исчерпали свои возможности по отгрузке или потребности которых в товаре были удовлетворены, вычеркиваются из таблицы (в примерах ниже они закрашиваются серым цветом), и вычисление повторяются до полного удовлетворения спроса и исчерпания отгрузок без учета вычеркнутых («серых») ячеек.
Многоплановой моделью для исследования различных аспектов теории принятия решений являются деловые шахматы.
Принятие решения — это процесс рационального или иррационального выбора альтернатив, имеющий целью достижение осознаваемого результата.