Теорема Штейнера

Е сли известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции этого тела относительно любой другой оси, параллельной данной, может быть определен по Теореме Штейнера.

В соответствии с теоремой Штейнера момент инерции тела относительно произвольной оси превосходит его момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела на величину произведения массы тела на квадрат расстояния между осями

З десь a - расстояние между осями, m -масса тела, I_c -момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс.

Используя теорему Штейнера, можно показать, что

Момент силы ?

В ращательное действие силы характеризуют особой величиной, называемой моментом силы.

Моментом силы называют векторную величину , определяемую векторным произведением

З десь - радиус-вектор точки приложения силы . Как следует из определения, момент силы является вектором, перпендикулярным плоскости, в которой лежат векторы и и направлен в сторону, определяемую правилом «правой руки». Направление вектора определяет направление оси вращения тела под действием этого момента. Величина момента силы равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .

П усть к плоскому твердому телу в точке А приложена сила , линия действия которой лежит в плоскости тела. Момент силы относительно данной, оси представляет собой вектор , модуль которого равен площади параллелограмма. Эта площадь будет равна произведению модуля силы на плечо.

Плечом силы d называют кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы.

Величина момента силы будет также равна произведению тангенциальной составляю­щей силы на расстояние от точки приложения силы до оси вращения.

Н аправление вектора момента силы определяется большим пальцем правой руки.

Если на тело действуют несколько сил, то результирующий момент, создаваемый этими силами, равен векторной сумме моментов каждой из сил.

Используя данные о моменте инерции и моменте силы, можно определить угловое ускорение тела с помощью 2-го закона Ньютона для вращающихся твердых тел

Здесь момент внешних сил, момент инерции тела относительно данной оси вращения.

Так как движение твердого тела является векторной суммой поступательного и вращательного движений, его произвольное плоское движение полностью описывается двумя уравнениями:

Первое из них описывает поступательное движение тела, связанное с движением его центра масс, а второе - его вращательное движение, относительно оси, проходящей через центр масс тела. Примером плоского движения твердого тела может служить качение цилиндра по плоской поверхности.

Задача. Определить скорость кругового цилиндра, скатившегося по наклонной плоскости высотой 1 м, составляющей 30^о с горизонтом. Качение происходит без проскальзывания.

Элементы статики

Статикой называют раздел механики, занимающийся выяснением условий равновесия тел. Статика является частным случаем динамики.

Очевидно, что тело будет находиться в равновесии тогда, когда выполнены два условия: векторная сумма внешних сил и векторная сумма моментов этих сил равны нулю.

Различают три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное.

В состоянии устойчивого равновесия потенциальная энергия тела минимальна. В состоянии неустойчивого равновесия потенциальная энергия тела максимальна. Если при смещении тела от положения равновесия его потенциальная энергия не изменяется, то равновесие будет безразличным.