1.2.2 Функция выживания и ее связь с функцией распределения

Пусть испытанием является наблюдение за компонентами РАИС в течение какого-то выбранного исследователем промежутка времени. При этом начало наблюдения определяется неким фактом, в частности атакой на РАИС. Контролируемое событие, т.е. прекращение выполнения возложенных функций на наблюдаемый компонент вследствие успешной атаки злоумышленника, («смерть» компоненты) – является случайным событием. Время от начала наблюдения до «смерти» – случайная величина. Обозначим ее Т, тогда значения этой случайной величины – t. Вполне естественно, что введенная случайная величина неотрицательная и непрерывная, имеет свой закон распределения, априори неизвестный. Функция распределения случайной величины равна

где F(t) – вероятность не «дожить» до момента времени t от начала отсчета. При t<0 обязательно F(t) = 0, а при положительном аргументе F(t) – функция возрастающая (точнее, неубывающая), с ростом t стремящаяся к 1.

Таким образом, функция распределения F(t) служит вероятностной характеристикой рассматриваемого процесса. По функции распределения F(t) можно найти соответствующую плотность распределения вероятностей f(t) как производную f(t) = F^/ (t).

Однако обычно [18] исследуемый процесс времени «жизни» целесообразнее связывать не с функцией распределения F(t), а с дополняющей до единицы функцией

(1.7)

так как

). (1.8)

Согласно свойству вероятностей противоположных событий S(t) – вероятность штатного (с сохранением основных функций) функционирования компоненты РАИС по истечении момента времени t с начала активного дестабилизирующего воздействия (прожить время, большее T).

Функцию S(t) заданную соотношениями (1.7) и (1.8), называют [18] функцией «выживания» (выживаемостью).

Кривая функции «выживания» S(t) легко может быть построена исходя из графика функции распределения F(t) и соотношения (1.8). Стоит также отметить, что значения функции S(t) при t<0 не имеют смысла.

Для удобства вычисляют функцию выживания:

(1.9)

определяющую вероятность быть «живым» в момент времени t, или в более широком смысле, вероятность того, что исследуемое событие не наступило к моменту времени t [48].

Кривая выживаемости y=S(t), построенная по распределению случайной величины Т является теоретической кривой, характеризующей процесс продолжительности «жизни». Соответствующие характеристики выживаемости согласованы с вероятностным распределением, т.е. базируются на вероятностной основе[42].

Возможно охарактеризовать величины Т с помощью функции риска- мгновенной интенсивности осуществления события [ ]

^(1.10)

В числители этого выражения (1.10) находится условная вероятность того, что событие произойдет в интервале времени ( , + ), если оно не произошло ранее, а знаменатель – ширина интервала. Разделив одно на другое, получаем интенсивность осуществление события в единицу времени. Устремляя ширину интервала к нулю и переходя к пределу, получаем мгновенную интенсивность осуществления события[98].

Условную вероятность в числителе можно записать в виде отношения совместной вероятности того, что Т принадлежит интервалу ( , + ) и (что совпадает с вероятностью того, что Т принадлежит указанному интервалу), к вероятности условия . Первая из них равна для малого а последняя это , по определению. Деление на и предельный переход дают следующий результат:

(1.11)

который и является определением функции риска как интенсивности осуществления события в момент времени , равной плотности событий в момент , деленной на вероятность дожить до этого момента, не испытав событие ранее[45].

Учитывая, что - это производная можно записать

(1.12)

Если теперь проинтегрировать обе части от 0 до и ввести граничное условие (поскольку событие не может произойти к моменту времени 0), можно преобразовать приведенное выражение и получить формулу [18] для вероятности работоспособности компонента РАИС (вероятности «дожить») до момента времени t как функции от рисков во все моменты времени до t:

(1.13)

Интеграл в фигурных скобках в этом уравнении называют [18] кумулятивным риском, обозначим его как

который можно рассматривать как сумму всех рисков при переходе от момента времени 0 к t, т.е. интегральным риском.

Фактически функции выживания и риска дают альтернативные, но эквивалентные описания распределения величины Т. Имея функцию выживания, можно ее продифференцировать и получить функцию плотности, а затем найти функцию риска. Зная функцию риска, можно ее проинтегрировать и получить кумулятивный риск, а затем от нее экспоненту и найти функции выживания, используя уравнение (1.13).

Для задач с дискретным временем всегда определены вероятности

В дискретном случае риск можно определить [18] по формуле:

где и

Риск [9] может быть любой неотрицательной функцией, в случае дискретного времени не превосходящей 1, выживаемость - неотрицательной, начинающейся со значением 1 и монотонно невозрастающей, а условие = 0 равносильно расходимости интеграла при непрерывном времени или ряда при дискретном.

Для системы из n объектов с разными распределениями времени жизни { } и соответственно, функциями выживаемости { } можно определить [18] усредненную функцию выживаемости, равную математическому ожиданию доли объектов, выживших к моменту t:

Плотность и функция распределения получившегося «усредненного» объекта также равны средним арифметическим соответствующих функций индивидуальных объектов[9].

Принципиальным недостатком вышеприведенных риск-оценок является то, что в них не учитывается величина возможных ущербов, без которых нельзя считать анализ полноценным.

В этой связи достаточно актуальным представляются задачи формирования методического обеспечения оценки живучести систем, лишенного этого недостатка. Причем очевидным удобством в этом отношении обладают распределенные системы [96], компоненты которых имеют значительную автономность в силу рассредоточенности ресурсов (в т.ч. информационных) и задач (функций). Это открывает (с точки зрения оценки шансов и рисков) перспективу независимого рассмотрения вероятностей наступления ущербов и величин этих ущербов (аналогичные умозаключения можно сделать и в отношении пользы и шансов ее получения) в атакуемых компонентах для системы в целом.