2. Замкнутые системы массового обслуживания

Рассмотрим системы массового обслуживания, в которых интенсивность потока поступающих заявок зависит от состояния самих систем. Такие системы массового обслуживания называются замкнутыми.

Пусть система состоит из п каналов обслуживания и т источников заявок, т>п.

Предположим, что каждый источник порождает простейший поток заявок с интен­сивностью , причем источник не может посылать следующую заявку до завершения обслуживания своей предыдущей заявки (в этом и выражается замкнутость данной системы). Предположим также, что каждый канал порождает простейший поток обслуженных заявок с интенсивностью . Все состояния данной системы можно разбить условно на три группы:

- "все каналы свободны",

- "ровно i каналов занято и поступило ровно i заявок", i = 1, ..., n,

- "все каналы заняты и ровно j-n заявок находятся в очереди для обслуживания", j = n + 1, ..., m.

Графически все возможные переходы из состояния в состояние, а также интенсивности потоков событий, под воздействием которых эти переходы возможны, можно изобразить в виде размеченного графа так, как это пока­зано на рис.2. Действительно, если система находится в состоянии i = 0, 1,..., n - 1, то в состояние "i+ 1 каналов занято" она может перейти под воздей­ствием суммарного потока заявок от m - i источников с интенсивностью ; из состояния в состояние "i- 1 каналов занято" она может перейти под воздействием суммарного потока обслуженных заявок, поступающего от i каналов обслуживания с интенсивно­стью .. Напомним, что i источников прекращают поставку заявок до завершения обслуживания своих последних заявок. Если же система находится в состоянии , j = n,...,m- 1, то в состояние она может перейти под воздействием суммарного потока заявок с интенсивностью , а в состояние — под воздействием сум­марного потока обслуженных заявок с интенсивностью , поступающего от n каналов обслуживания.

Рис. 2. Размеченный граф многоканальной замкнутой СМО

Составим на основе этого размеченного графа уравнения Колмогорова. Эти уравнения представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений, описывающую вероятности P_r(t) нахождения данной системы в состоянии S_r в момент времени t, r = 0, 1, ..., m :

Особый интерес представляют вероятности P_r(t) в предельном стационарном режиме, т. е. при , которые называются предельными вероятностями состояний системы.

3. Открытые системы массового обслуживания

Рассмотрим системы массового обслуживания, в которых интенсивность потока поступающих заявок не зависит от состояния самих систем. Такие системы массового обслуживания называются открытыми.

Пусть интенсивность простейшего потока поступающих заявок равна и не зависит от состояния системы. Предполагается, что система состоит из п каналов обслуживания и каждый канал порождает простейший поток обслуженных заявок с интенсивностью . Заявки, поступающие в момент, когда заняты все каналы, становятся в очередь ожидая обслуживания. Количество мест в очереди ограничено числом к : при наличии в очереди к заявок вновь поступающие заявки покидают систему необслуженными.

Все состояния данной системы можно разбить условно на три группы:

- "все каналы свободны",

- "ровно i каналов занято и поступило ровно i заявок", i = 1, ..., n,

- "все каналы заняты и ровно j-n заявок находятся в очереди для обслуживания", j = n + 1, ...,n+k .

Графически все возможные переходы из одного состояния в другое, а также интенсивности потоков событий, под воздействием которых эти переходы возможны, можно изобразить в виде размеченного графа так, как это показано на рис.23. Здесь m=n+k.

Рис.3. Размеченный граф многоканальной открытой СМО

Действительно, если система находится в состоянии i = 0, 1,..., m, то в состояние "i+ 1 каналов занято" она может перейти под воздействием потока заявок с интенсивностью ;

Из состояния в состояние "i- 1 каналов занято" i = 1,..., n она может перейти под воздействием суммарного потока обслуженных заявок, поступающего от i каналов, с интенсивностью .

Из состояния в состояние j = п + 1, ..., m, система может перейти под воздействием суммарного потока обслуженных заявок, поступающего от п каналов с интенсивностью .

Составим на основе этого размеченного графа уравнения Колмогорова. Приравнивая производные нулю для стационарного случая, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающую предельные вероятности состояний системы:

Если мест в очереди не предусмотрено (k=0), то имеем частный случай открытой системы массового обслуживания. Графически этот случай описывается на рис. 4.

Рис.4. Размеченный граф многоканальной открытой СМО без очереди.

Для получения системы алгебраических уравнений, описывающей стационарный режим в этом случае, достаточно из последней системы удалить третий блок уравнений (при j = n,..., т- 1) и положить т = п.

Если рассматриваемая система массового обслуживания одноканальная, то из системы линейных алгебраических уравнений исключается второй блок уравнений; если система одноканальная и без очереди, то исключается второй и третий блоки уравнений.

Пусть система находится в предельном стационарном режиме. Тогда можно показать, что:

• вероятность Р_от отказа заявке на обслуживание равна Р_т ;

• вероятность Q принятия заявки на обслуживание равна 1- Р_т ;

• среднее число А заявок, принимаемых системой на обслуживание в единицу времени, равно Q;

• среднее число Nzan занятых каналов равно А/ ;

• среднее число Noch заявок в очереди равно

• среднее время tw ожидания заявки в очереди равно

• среднее время tsys нахождения заявки в системе равно tw+ Q/ ;