Глава i0. Методы определения автоколебаний в нелинейных системах

§1. Общие понятия об автоколебаниях

Одной из основных особенностей нелинейных систем, как уже отмечалосъ, является возможность возникновения в них автоко­лебаний – периодических колебаний, возникающих за счет неперио­дического источника энергии, причем амплитуда этих колебаний определяется не начальными условиями, а свойствами системы. На фазовой плоскости автоколебательному режиму соответствует изолированная замкнутая фазовая траектория – предельный цикл. В качестве примеров автоколебательных систем можно привести часы, электрический звонок, всевозможные генераторы; при неко­торых условиях автоколебания возникают и в химических реакторax. Автоколебательные режимы довольно часто наблюдаются в нелинейных АСР, поэтому изучение этих режимов, выявление условий их возникновения, исследование их параметров является очень важной задачей.

Один из распространенных методов нахождения автоколебаний рассматривается ниже.

§2. Метод гармонического баланса

Метод гармонического баланса был предложен для определения автоколебаний в нелинейной системе Л.С. Голъдфарбом. Метод при­меняется для приближенного исследования нелинейных систем.

Рис. 110

Метод гармонического баланса основан на применении частот­ных характеристик нелинейных систем, получаемых при гармоничес­кой линеаризации нелинейностей (см. главу 7, §3).

Представим исследуемую нелинейную систему в виде замкнутой системы, состоящей из линейной части, в которой объединены все линейные элементы, входящие в систему, и нелинейного звена. Обозначим амплитудно-фазовую характеристику линейной части через W_л(i); инверсную АФХ нелинейного элемента – Z_нэ(iA).

Как уже отмечалось, при гармонической линеаризации нелинейностей не учитываются старшие гармонические составляющие на выходе нелинейного элемента.

Для большинства промышленных систем регулирования такое упрощение не вносит значительных ошибок в результаты исследования благодаря тому, что в этих системах линейная часть фактически является фильтром высоких частот. Поясним это положение.

Если на вход нелинейного звена подается гармонический сигнал с частотой ₀, то на выходе его устанавливаются колебания, содержащие бесконечную сумму гармоник с частотой ₀, 2₀, 3₀,... (см. ряд Фурье). При прохождении через линейную часть каждая из этих гармоник изменяет свою амплитуду в М_л(k) раз, где М_л() – амплитудно-частотная характеристика линейной части. Если АЧХ линейной части (рис. 111) такова, что М_л(₀)>> М(2₀)

Рис. 111

т.е. выполняется “гипотеза фильтра”, то выходной сигнал ли­нейной части будет практически содержать лишь первую гармонику с частотой ₀. Так как в результате гармонической линеаризации нелинейный элемент рассматривается как линейный (только при прохождении гармонического сигнала!), то система является квазилинейной. Тогда можно сказать, что для рассматриваемой замкнутой системы возникновение колебаний за счет первой гармонической составляющей возможно в том случае, если она находится на гра­нице устойчивости. В соответствии с критерием Найквиста грани­це устойчивости замкнутой системы будет соответствовать урав­нение: W_раз(i,A)=1,

Wл(i)Wнэ(i,A)=1	или		(10-1)
Mл()Мнэ(А)=1	откуда	л()+нэ(А)=0

т.е. гармонический сигнал после прохождения нелинейного звена и линейной части должен иметь на входе в нелинейное звено опять ту же частоту и амплитуду. Если уравнение (10-1) имеет действительное положительное решение (_а, А_а), то в рассматри­ваемой системе возможны автоколебания с частотой _a и ампли­тудой А_а.

Уравнение (10-1) можно решить графически. Для этого по­строим в плоскости комплексного переменного амплитудно-фазовую характеристику линейной части W_л(i) и инверсную амплитудно-фазовую характеристику Z_нэ(I,A) нелинейного звена. Очевидно, что точка пересечения этих кривых будет соответствовать решению системы (10-1), а значит и возможным колебаниям в рассматриваемой системе. Следовательно, если кривые W_л(i) и Z_нэ(I,A) не пере­секаются между собой, то в рассматриваемой системе автоколеба­ния отсутствуют. Точка пересечения годографов W_л(i) и Z_нэ(I,A) определяет и параметры колебаний – амплитуда А_а находится по Z_нэ(I,A), а частота _а по W_л(i).

При рассмотрении графического решения системы (10-1) отметим, что нелинейный элемент, являющийся в АСР регулятором, включен в отрицательную обратную связь (рис. 110). Тогда при построении годографов знак «минус» в обратной связи отнесем к линейной части (рис. 148).

Рис. 112

Для рассмотрения вопроса об устойчивости автоколебаний введем понятие внутренней области линейной АФХ.

Внутренней областью линейной АФХ в пределах квадранта будем считать область, ограниченную координатными осями и годографом АФХ.

Правило определения устойчивости автоколебаний.

Если годограф инверсной АФХ нелинейного элемента Z_нэ(I,A) с увеличением амплитуды А выходит из внутренней области W_л(i), то автоколебания устойчивы; если годограф Z_нэ(I,A) входит во внутренюю область W_л(i) – автоколебания неустойчивы.

Таким образом при использовании метода гармонического баланса исследование авто­колебательного режима складывается из следующих этапов:

- исходная система приводится к структуре„представленной на рисунке 110;

- система размыкается перед нелинейным элементом; при этом предполагается, что и линейная и нелинейная части яв­ляются детектирующими звеньями;

- строится амплитудно-фазовая характеристика линейной час­ти как функция частоты колебаний;

- строится инверсная амплитудно-фазовая характеристика не­линейной части, как функция амплитуды колебаний;

- по взаиморасположению этих кривых определяют возможность автоколебаний в системе и их устойчивость.

145