§4. Методы построения фазовых портретов нелинейных систем

Построение фазовых портретов для линейных систем второго порядка может быть выполнено непосредственно по уравнению фа­зовых траекторий, получаемому в результате интегрирования урав­нения (5-4). Для нелинейных систем эта задача существенно усложняется, так как в большинстве случаев получить в аналити­ческой форме уравнение для фазовых траекторий не удается. Поэ­тому для построения фазовых, портретов нелинейных систем обыч­но используются следующие методы:

- численное интегрирование уравнений для фазовых траекторий, обычно с использованием средств вычислительной техники;

- метод изоклин;

- метод припасовывания.

При использовании первого из указанных методов необходимо выполнить интегрирование уравнения типа (8-4). В ряде слу­чаев такие расчеты выполняют после проведения качественного исследования изучаемой системы. При этом в результате примене­ния методов качественной теории дифференциальных уравнений оп­ределяют структуру фазовых портретов – число и тип возможных в данной системе состояний равновесия, количество предельных циклов и их взаиморасположение, расположение сепаратрис седла, т.е. выявляется вся совокупность возможных в данной систе­ме режимов работы. Далее с помощью численных методов выполняют­ся расчеты на ЦВМ для заданных начальных условий, которые явля­ются наиболее важными для рассматриваемой системы.

Другим методом построения фазовых портретов нелинейных сис­тем является метод изоклин. Метод имеет сравнительно невысокую точность и используется в основном для качественной оценки хо­да фазовых траекторий.

Другой метод построения фазовых портретов нелинейных систем – метод припасовывания используется в тех случаях, когда возможна кусочно-линейная аппроксимация нелинейной характеристики. Сог­ласно этому методу фазовая траектория строится по частям, каждой из которых соответствует линейный участок характеристики, причем значения фазовых координат в конце каждого участка фа­зовой траектории являются начальными условиями для решения уравнения на следующем участке. На каждом отдельно рассматривае­мом участке система линейна и поэтому фазовая траектория для него может быть найдена непосредственным интегрированием дифференциального уравнения на данном участке. Таким образом, при использовании метода припасовывания общий фазовый портрет системы получается "сшиванием" фазовых траекторий, найденных на отдельных участках.

Пример. Нелинейная система описывается следующей системой уравнений:

Начальные условия: y₁₀=y₂₀=-1

Или иначе:

и

Разобьем фазовую плоскость на участки, на каждом из которых движение изображающей точки описывается одним из линейных уравнений (1) или (2) (рис. 107).

Границей между этими участками является линия ABCD, назы­ваемая линией переключения. При заданных начальных условиях изображающая точка находится на входе в участок DCF, сле­довательно, первый отрезок фазовой траектории М₀М₁ находим интегрированием уравнений (I) при начальных условиях y₁₀, y₂₀. Поделив второе уравнение на первое, получим

,

откуда уравнение фазовой траектории будет:

Конечную точку первого участка фазовой траектории – М₁ – на­ходим как точку пересечения с линией переключения АВ:

Координаты точки М₁ являются начальными условиями для решения уравнения (II), которое описывает второй участок фа­зовой траектории – М₁М₂:

,

откуда

Координаты точки М₁ находим как координаты точки пересечения с линией переключения CD:

Продолжая аналогичные рассуждения, находим остальные участки фазовой траектории. Фазовый портрет системы приведен на рисунке 107.

Рис. 107