§3 Метод гармонической линеаризации

Особенности поведения нелинейных систем и многообразие про­цессов в них создают трудности точного их математического описа­ния и теоретического изучения.Во многих случаях возможно и целе­сообразно заменить реальные нелинейные характеристики некоторыми приближенными линейными зависимостями,

Линеаризация слабых нелинейностей производится обычно путем разложения нелинейной зависимости в ряд Тейлора и удерживания первых членов разложения (см. гл. 1).

Другим методом линеаризации,применяемым для существенно нели­нейных зависимостей, является метод гармонической линеаризации.

Если на вход безынерционного нелинейного элемента с характе­ристикой f_нэ(х) подается гармонический сигнал х=Asint, то на выходе элемента устанавливаются периодические колебания, которые можно представить как сумму гармонических составляющих с помощью ряда Фурье

Предположим, что все гармоники, начиная со второй, имеют доста­точно малую амплитуду по сравнению с первой гармоникой и ими мож­но пренебречь. Тогда уравнение вынужденных колебаний запишется в виде

Если a₀=0, то y(t)=c₁sin(t+).

Таким образом можно считать, что, подавая на ввход нелинейного элемента гармонический сигнал x=Asinωt, на выходе имеем также гармонический сигнал y(t)=c₁sin(ωt+φ). Тогда для нелинейного элемента можно ввести характеристики, аналогичные частотным характеристикам линейных систем:

амплитудно-фазовую характеристику

Инверсную АФХ

Оотметим, что эти характеристики не зависят от частоты входных колебаний, а зависят от их амплитуды А.

Глава 8. Метод фазовой плоскости

§1. Основные понятия

Одним из основных методов исследования нелинейных систем является метод фазового пространства, введенный в теорию колеба­ний акад. Андроновым А.А. Фазовым пространством называют такое пространство, в котором прямоугольными координатами точки явля­ются величины, определяющие мгновенное состояние системы, называемые фазовыми координатами. Очевидно, что число фазовых координат равно числу степеней свободы системы.

Метод фазового пространства применим как для линейных, так и для нелинейных систем. Пусть мы имеем линейное дифференциаль­ное уравнение n-го порядка:

(8-1)

Из теории дифференциальных уравнений известно, что это урав­нение можно записать в виде системы из n линейных дифферен­циальных уравнений первого порядка:

(8-2)

Если рассматривается свободное движение системы, т.е. переходный процесс после снятия возмущения, тo он описывается однородным дифференциальный уравнением – уравнением, в котором правая часть f(t) равна нулю. В системе уравнений (8-2) соответственно будут равны нулю члены: f₁(t)=f₂(t)=…=f_n(t)=0.

В аналогичной форме записываются уравнения и для нелиней­ной системы:

			(8-2а)
где	y1, y2, …, yn	– фазовые координаты;
	t	– время;
	F1, F2, …, Fn	– нелинейные функции.

Переменные y₁, y₂, …, y_n – могут иметь любой физический смысл (например, температура, концентрация, давление).

Часто в качестве фазовых координат выбирают выходную координату системы и ее (n-1) производную.

Точка фазового пространства (рис. 95), соответствующая состоянию системы в данный момент времени t, называется изображающей точкой (М). Изменению состояния системы со временем будет соответствовать движение изображающей точки в фазовом пространстве по определенной траектории, которая называется фазовой траекторией. Следовательно, каждому переходному процессу в реальной системе будет соответствовать определенная фазовая траектория в фазовом пространстве и наооборот.

Начальные условия переходного процесса определяют координаты начальной точки М₀ на фазовой траектории.

Рис. 95

Совокупность фазовых траекторий, соответсвующих всем возможным в данной системе начальным условиям, называется фазовым портретом системы.

Наибольшее распространение метод фазового пространства получил при исследовании системы второго порядка. В этом случае фазовым пространством является плоскость. Координатами фазовой плоскости обычно выбирают выходную координату системы

Наибольшее распространение метод фазового пространства получил при исследовании системы второго порядка. В этом случае фазовым пространством является плоскость. Координатами фазовой плоскости обычно выбирают выходную координату системы y=y₁ и ее производную y₁^/=y₂. В этих координатах дифференциальные уравнения нелинейной системы вторго порядка имеют вид:

(8-3)

где P и Q – нелинейные функции.

Разделив второе уравнение на первое, исключим время:

(8-4)

Решение дифференциального уравнения (8-4) дает семейство интег­ральных кривых на фазовой плоскости, по которым строятся фазо­вые траектории данной системы.

Уравнение (8-4) определяет тангенс угла наклона касатель­ной к интегральной кривой. В каждой точке фазовой плоскости можно провести единственную касательную, так как каж­дой паре значений y₁ и y₂ соответствует одно значение dy₂/dy₁. Следовательно через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна фазовая траектория, т.е. фазовые траектории не могут пересекаться в обычных точках фазовой плоскости. Исключение составляет начало координат фазовой плоскости, где y₁=0 и y₂=dy₁/dt=0. Начало координат фазовой плоскости соответствует состоянию равновесия системы, так как в этой точке и выходная координата y₁ и ее скорость y₂ равны нулю.

Уравнение состояния равновесия запишется в виде:

т.е. направление касательной к фазовой траектории в начале координат неопределенное. Поэтому начало координат фазовой плоскости, соответствующее состоянию равновесия, системы, назы­вается особой точкой.

Существуют разные типы особых точек, которые различаются друг от друга по характеру поведения фазовых траекторий вбли­зи особой точки.

Рассмотрим основные типы особых точек и соответствующие им фазовые портреты на примере линейной системы второго порядка.