Решение транспортной задачи

Транспортные задачи описывают перевозку какого-либо груза из пункта отправления в пункт назначения. Цель транспортной задачи – определить объем перевозок из пунктов отправления в пункты потребления с минимальной суммарной стоимостью, учитывая ограничения, налагаемые на объемы грузов, имеющихся в пунктах отправления, и потребность грузов в пунктах потребления. Стоимость перевозки по какому-либо маршруту прямо пропорциональна перевозимому объему груза по данному маршруту.

Пусть имеется n пунктов отправления и m пунктов потребления некоторого груза. Обозначим x_ij – объем груза, перевозимого из пункта i в пункт j, а  c_ij стоимость перевозки единицы груза в этом направлении.

Транспортную задачу решают методом потенциалов. Для этого всю информацию записывают в таблицу (каждая таблица будет отражать одну итерацию решения):

Каждая внутренняя клетка таблицы делится на четыре части, в которые записывается следующая информация: c_ij – стоимость перевозки единицы груза из пункта i в пункт  j, x_ij – объем перевозимого груза из пункта i в пункт  j, d_ij – оценка (определяется в процессе решения), sign– знак «+» или «–» (определяется в процессе решения). В столбец U и строку V записывают потенциалы, вычисленные для соответствующих строк и столбцов.

Алгоритм транспортной задачи

Шаг 1. Нахождение первоначального плана перевозок.

Для определения первоначального плана перевозок используется правило северо-западного угла. Согласно этому правилу рассмотрим клетку [k,p], находящуюся в северо-западном (левом верхнем) углу таблицы, начиная с клетки [1,1]. Определим объем перевозки из пункта k в p

таблицы исключаем либо только строчку k, либо только столбец p. Переходим к новой клетке [k,p], находящейся в северо-западном углу оставшейся таблицы и повторяем процедуру до тех пор, пока все строки и столбцы не будут исключены.

Клетки, для которых определен объем перевозок, являются базисными, их число n+m-1. Для некоторых из этих клеток может получиться x_ij= 0. Остальные клетки внебазисные и информация о x_ij в них не заносится.

Шаг 2. Проверка оптимальности решения.

Считаем суммарную стоимость перевозок L. Для проверки найденного решения на оптимальность вычислим потенциалы всех пунктов отправления и потребления (U_i и V_j). Присвоим первой строке потенциал равный единице  U₁ = 1. Остальные потенциалы находим, используя

Шаг 3. Определение нового базисного решения.

Определим клетку [q,s], выводимую из базиса. Для этого построим цикл пересчета П, в котором одна из клеток не базисная ([k,p]), а остальные – базисные. В общем случае цикл пересчета может представлять собой замкнутую ломанную, имеющую сложную ступенчатую конфигурацию. При этом на любой горизонтальной и вертикальной линии цикла должно находиться четное количество клеток.

Клетке [k,p] присваиваем знак «+» и записываем его в поле sign. В соседнюю клетку цикла записываем «–» и т.д., чередуя плюсы и минусы, так чтобы в каждой строке и столбце количество плюсов равнялось количеству минусов.

Объемы предложения и потребления:

Решение:

Суммарный объем предложения (80) не равен суммарному объему потребления (75), следовательно транспортная задача является открытой и необходимо ввести фиктивного потребителя В5 с объемом потребления 80-75=5 ед.

Назначим стоимость перевозок в пункт В5 в размере 50 у.е.

Составим таблицу и определим исходный базис методом северо-западного угла.

После этого вычисляем оценки по формуле

Максимальная оценка d₄₁=4>0 – полученное решение не оптимально и его можно улучшить

Максимальная оценка d₂₃=4>0, следовательно, решение не оптимально и его можно улучшить.

Перейдем к новому базису.

Стоимость перевозок L=428 у.е.

Максимальная оценка d₂₅=2>0, следовательно, решение не оптимально и его можно улучшить.

Стоимость перевозок L=424 у.е.

Максимальная оценка равна нулю, следовательно, решение оптимально.

Стоимость перевозок без учета фиктивного потребителя составит L=424-250=174 у.е.

Ответ: минимальная стоимость перевозок равна 174 у.е.