Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ

Задача коммивояжера формулируется следующим образом. Имеются (n+1) городов и заданны расстояниями между ними. Коммивояжер должен выехать из определенного города и вернуться в него, побывав в каждом из городов лишь один раз и проехав минимальное расстояние.

Пусть x_ij = 1, если коммивояжер переезжает из города i непосредственно в город j, и x_ij = 0 в противном случае. Задана матрица расстояний между городами

Для поиска оптимального (минимального) маршрута применим метод ветвей и границ.

Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых решений некоторым способом разбивается на подмножества, каждое из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс продолжается до получения одноэлементных множеств. Для повышения эффективности рассмотренной процедуры вводятся оценки, на основе которых можно судить о необходимости дальнейшего дробления каждого из множеств.

Метод содержит три этапа: ветвление, пересчет оценок и отбрасывание вариантов.

Будем обозначать подмножества допустимых решений X(k,t), ξ(k,t) – оценку подмножества, где k – номер уровня разбиения, t – порядковый номер в уровне.

Алгоритм метода ветвей и границ

Этап 0. Вычисление первоначальной оценки.

Полагаем ξ(0,1) = h + H.

Этап 1. Ветвление.

Пусть построено подмножество X(k,t) и вычислена оценка ξ(k,t). Этому подмножеству соответствует приведенная матрица С''(k,t).

Пусть построено подмножество X(k,t) и вычислена оценка ξ(k,t). Этому подмножеству соответствует приведенная матрица С''(k,t).

Подмножество X(k,t) разбиваем на два подмножества X(k+1,m+1), X(k+1,m+2), где m – последний порядковый номер в уровне на момент разбиения.

В подмножество X(k+1,m+1) будет входить множество всех маршрутов, содержащих путь из города p в город q. 

В подмножество X(k+1,m+2) будет входить множество всех маршрутов, не содержащих путь из города p в город q. 

Переход p → q, включенный в подмножество X(k+1,m+1), должен характеризоваться минимальными (нулевыми) затратами. Если таких переходов несколько, то среди нулевых элементов приведенной матрицы выбирается такой переход, чтобы в подмножество X(k+1,m+2) попали варианты с наибольшими затратами.

Первое слагаемое в сумме характеризует минимальные затраты на выход из города p  (переход p → q запрещен), а второе минимальные затраты на вход в город q при том же условии.

Этап 2. Пересчет оценок.

Матрицу С(k+1,m+1) получаем из матрицы С''(k,t) вычеркиванием строки p и столбца q, полагаем c_qp = ∞, делая невозможным обратный переход q → p. Производим процедуру приведения к матрице С''(k+1,m+1), вычисляя h_i и H_j, и считаем оценку ξ(k+1,m+1) = ξ(k,t) + h + H.

Чтобы получить матрицу С(k+1,m+2) в матрице С''(k,t) полагаем c_pq = ∞, запрещая переход p → q. Производим процедуру приведения к матрицеС''(k+1,m+2), вычисляя h_i и H_j, и считаем оценку ξ(k+1,m+2) = ξ(k,r) + h + H.

Этап 3. Отбрасывание вариантов.

Отбрасывание вариантов осуществляется по минимальной оценке или по достижению предельного решения (когда дальнейшее разбиение невозможно).

Если предельное решение не достигнуто, то среди «конечных» оценок ξ (i,j) выбираем минимальную. Она соответствует подмножеству X(i,j), переходим к Этапу1, где подмножество X(k,t) становится подмножеством X(i,j). 

Пример. Решить задачу коммивояжера для шести городов (n=5) методом ветвей и границ при заданной матрице расстояний:

Шаг 0. Приводим матрицу С(0,1). Вычислим коэффициенты приведения h_i в каждой строке (записаны в дополнительном столбце справа).

Как видно максимум достигается в двух клетках (1,2) и (5,3). Выберем одну из них – клетку (1,2) и разобьем множество Х(0,1) на подмножестваХ(1,1) и Х(1,2).

Подмножество Х(1,1) содержит условие из города 1 идти в город 2. Ему соответствует матрица С(1,1), которая получается из матрицы расстояний С''(0,1) удалением строки 1 и столбца 2, а также, для запрета малых циклов, изменением на ∞ значения клетки (2,1).

Вычтем h_i из каждого элемента c_ij, соответствующей строки. Получим матрицу С'(1,2). Теперь вычислим H_j.

Вычтем H_i из каждого элемента , соответствующего столбца.

После приведения получим матрицу С''(1,2).

Шаг 2.

Минимальная оценка ξ(1,1), поэтому разбиваем множество Х(1,1). Определим клетку (p,q). Найдем суммы минимумов для клеток с нулевыми значениями:

Максимальная сумма соответствует клетке (5,3). Относительно нее производим разбиение множества Х(1,1) на подмножества Х(2,1) и Х(2,2).

Подмножество Х(2,1) содержит условие из города 5 идти в город 3. Ему соответствует матрица С(2,1), которая получается из матрицы расстояний С''(1,1) удалением строки 5 и столбца 3, а также изменением на ∞ значения клетки (3,5), для запрета малых циклов.

Для этой таблицы все h_i и H_j равны 0, поэтому оценка останется  прежней ξ(2,1)= ξ(1,1)=16, а матрица С''(2,1) примет следующий вид:

Оценка ξ(2,2)= ξ(1,1)+4+1=16+5=21.

Достраиваем дерево разбиения:

Шаг 3.

Минимальная оценка ξ(2,1), поэтому разбиваем множество Х(2,1). Определим клетку (p,q). Найдем суммы минимумов для клеток с нулевыми значениями:

Как видно, максимум достигается в двух клетках (2,5) и (4,0). Выберем одну из них – клетку (2,5) и разобьем множество Х(2,1) на подмножества Х(3,1) и Х(3,2).

Подмножество Х(3,1) содержит условие из города 2 идти в город 5. Ему соответствует матрица С(3,1), которая получается из матрицы расстояний С''(2,1) удалением строки 2 и столбца 5.

Вычтем h_i из каждого элемента c_ij, соответствующей строки. Получим матрицу С'(3,2). Теперь вычислим H_j.

Шаг 4.

Минимальная оценка ξ(3,1), поэтому разбиваем множество Х(3,1) Определим клетку (p,q), относительно которой будем проводить разбиение:

Максимальная сумма соответствует клетке (4,0). Относительно нее производим разбиение множества Х(3,1) на подмножества Х(4,1) и Х(4,2).

Подмножество Х(4,1) содержит условие из города 4 идти в город 0. Ему соответствует матрица С(4,1), которая получается из матрицы расстояний С''(3,1) удалением строки 4 и столбца 0, а также, для запрета малых циклов, изменением на ∞ значения клетки (0,4).

Вычислим коэффициенты приведения h_i и H_j:

Достраиваем дерево разбиения:

Шаг 5.

Минимальная оценка ξ(4,1), Для подмножества Х(4,1) имеем:

Т.е. остаются переходы из 0 в 1 и из 3 в 4. Добавим эти переходы к переходам, полученным при движении по дереву от вершины до подмножества Х(4,1), и получим цикл 0→1→2→5→3→4→0, длина которого равна 16. Т.к. все остальные оценки ξ для концевых вершин больше 16, то этот цикл оптимальный.

Ответ: оптимальный путь 0→1→2→5→3→4→0, его длина 16.