Метод наименьших квадратов.

…

Постановка линейной регрессионной задачи статистического оценивания и идентификации.

Дано:

1. Математическая модель динамической системы:

2. Математическая модель измерительной системы:

где

Где m – размерность вектора измерений.

:

– зашумленное измерение; Z реальная выборка зашумленной величины.

Структура оценок измерений:

Но мы считаем что при решении этой задаче аномальных измерений нет, чтобы можно было использовать метод наименьших квадратов.

Свойства ошибок измерений:

1. информация отсутствует

2. математическое ожидание отсутствует

3. Матрица корреляционных измерений известна

4. или известна

Выборка результатов измерений

4) Априорная информация A: как правило отсутствует

5) Критерии качества

вектор невязок измерений

W – весовая матрица.

Невязка содержит всю информацию об ошибках измерений

Геометрическая интерпретация критерия качества мнк-оценок.

1946 год - академик Колмогоров А.Н.;

Мы оперируем вектором измерений и оперируем как идеальным, так и зашумленным, поэтому мы можем нарисовать в некотором пространстве:

Белый шум некоррелированный, Коррелированный цветной шум можно описать также методом наим. квадратов.

W=E

Алгоритм рассуждений:

1. и могут получены из выражений (1) и (2)

2. и лежат в плоскости L

3. Вектор начальных условий может быть получен из (1), но для этого нам необходимо знать , который зашумлён и не лежит в плоскости L

4. может быть получена из (2)

5. Правила нахождения определяются МНК путём проектирования

Невязка минимальна! Произведение невязок также минимально. Геометрическая интерпретация МНК-оценок связана с проектированием на гиперплоскость.

Лекция 3 18.10.2013

Алгоритмы оценивания мнк

А) Общий вид алгоритма

Где является весовой матрицей

Матрица Грама (симметрическая, квадратная), у неё должен быть детерминант не равный 0, т.е. все строки и столбцы не зависимы. Должна быть устойчивой вырожденной, матрица получения МНК оценки называется регулярной.

Б) Рассмотрим различные варианты применения МНК

1) Простой МНК

W=E, где E – единичная матрица. Из (*) следует:

2. Обобщенный метод МНК

Если в прошлом варианте мы считали ошибки измерений по характеру одинаковыми, то здесь считаем их разновеликими и будем учитывать их с весом, который обратнопропорционален

Чем хуже мы меряем (чем больше дисперсия погрешности измерений) тем меньший вес нужно предавать в общей разработке, иначе мы будем ухудшать высокоточные измерения.

Квантово-оптические средства обладают высокоточными средствами имеют ряд недостатков.

вектор состояния сложной динамической системы, в качестве которой может быть движение КА. Начальным моментом времени может быть в момент начального витка измерений.

Характерные точки на орбите КА: восходящий узел, нисходящий узел, апогей перигей, наивысшая точка орбиты, низшая точка орбиты.

Ф – матрица частных производных по оцениваемым параметрам.

В) Точность МНК оценок

обычно выбрасываются, т.к. отличаются от прогнозируемой траектории

Существуют различные методы и критерии для отбраковки аномальных измерений. При запуске при 100 измерениях за 3 минуты может быть до 50% аномальных измерений. Но мы считаем что мы работаем с обработанными данными и аномальных нет.

Про систематическую составляющую как правило ничего не известно.

Введём некоторую матрицу

Тогда берём математическое ожидание от оценки

Очевидно - по условию задачи

Тогда:

А какой же будет разброс?

Если бы было известно систематическое ожидание можно было бы вычислить реальную оценку.

Оценка характеризуется законом распределения. Если Гаусса, то тут 2 момента: Мат ожидание и дисперсия.

Систематическая составляющая накладывается дополнительно.

Т.к.

говорим не только о корреляционной матрице в данный момент времени, но и о всех измерениях.

Пусть