Уравнение неразрывности несжимаемой жидкости

Рассмотрим поток с установившимся движением, ограниченный непроницаемыми стенками (рис. 3.4)

Проведем перпендикулярно движению потока два поперечных сечения I -I и II - II, площади которых обозначим через и , а средние скорости в них - через и . Тогда расходы, проходящие соответственно через каждое сечение

и .

Если предположить, что , тогда через некоторый промежуток времени в объеме, заключенном между рассматриваемыми сечениями вследствие избытка количества притекающей жидкости над вытекающей должно происходить накопление жидкости, что ввиду жесткости стенок русла и несжимаемости жидкости невозможно; следовательно, это предположение является нереальным.

Рисунок 3.4 - Течение жидкости в трубке тока

Предположим, что , тогда через некоторый промежуток времени в объеме, заключенном между рассматриваемыми сечениями, вследствие избытка количества вытекающей жидкости над притекающей должны образоваться пустые промежутки - разрывы в сплошном потоке, так как нигде между сечениями I и II добавочного поступления жидкости в поток не происходит. Но если разрывов сплошности потока не образуется, то и это второе предположение тоже является нереальным.

Остается третье предположение, что . Это предположение и осуществляется, когда поток течет без разрывов сплошности с постоянным расходом.

В особых случаях сплошность движения может нарушаться. Это происходит, например, когда давление в жидкости оказывается меньше давления ее паров и она начинает вскипать. В таких случаях уравнение неразрывности теряет силу.

Так как сечения I и II взяты произвольно по длине сплошного потока, то в общем виде по длине потока должно соблюдаться равенство

Ввиду того, что и следует

,

откуда получаем важное следствие о соотношении средних скоростей потока в различных сечениях:

, (3.13)

то есть скорости потока обратно пропорциональны площадям живых сечений.

Уравнение Бернулли

Основным уравнением гидродинамики для двух сечений потока вязкой жидкости при плавно изменяющемся, установившемся движении является уравнение Бернулли:

, (3.14)

Каждый член, входящий в уравнение Бернулли, с геометрической и энергетической точек зрения имеет определенный смысл.

Рисунок 3.5 – Построение напорной и пьезометрической линий в коротком трубопроводе при свободном истечении на выходе

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли:

- высота положения, произвольно выбранной в рассматриваемом живом сечении, точки относительно любой горизонтальной плоскости сравнения 0 - 0 (рис. 3.5); за характерную точку в большинстве случаев принимается центр тяжести сечения и тогда - высота положения сечения над плоскостью сравнения (геодезическая высота), определяется расстоянием от плоскости сравнения до центра тяжести сечения;

- пьезометрическая высота, соответствующая избыточному давлению в точке;

пьезометрический напор;

- скоростной напор;

гидродинамический напор;

- потери напора.

Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли:

- удельная энергия положения;

- удельная энергия давления;

- удельная потенциальная энергия;

- удельная кинетическая энергия;

- полная удельная энергия;

- потери полной удельной энергии.

Слово «удельная » в энергетической интерпретации означает, что каждый член уравнения Бернулли отнесен к единице веса жидкости, проходящей через живое сечение в единицу времени.

Уравнение Бернулли может быть применено к потоку, только при выполнении трех условий:

1. Расход жидкости между двумя сечениями 1-1 и 2-2, из которых первое всегда располагается выше по течению, должен быть постоянным (Q=const).

2. Движение жидкости должно быть установившемся.

3. Движение жидкости в сечениях 1-1 и 2-2 должно быть параллельноструйным или плавно изменяющимся; в промежутке между выбранными сечениями движение может быть и резко изменяющимся.

Сумму высот называют также полным напором.

Удельная энергия потока (гидродинамический напор) при движении реальной жидкости уменьшается в направлении движения от первого сечения ко второму. Поэтому, откладывая каждый раз (в расчетных сечениях по длине) от горизонтальной плоскости 0-0 величину полного гидродинамического напора в сечениях, получим напорную линию I, уклон которой на прямолинейных участках трубопровода есть гидравлический уклон.

Гидравлический уклон - изменение полного напора на единицу длины:

, (3.15)

Ниже линии I на расстоянии от плоскости сравнения равном располагается пьезометрическая линия II, уклон которой называется пьезометрическим.

Пьезометрический уклон - это изменение пьезометрического напора на единицу длины:

. (3.16)

Коэффициент кинетической энергии (коэффициент Кориолиса) равен отношению действительной кинетической энергии потока, имеющего в живом сечении эпюру распределения скоростей, к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости в живом сечении . По опытным данным при турбулентном прямолинейном движении воды в трубах = 1,05- 1,10.