График функции

Он представляет собой одну из ветвей параболы. Выполним чертеж:

График гиперболы

Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу  .

График показательной функции

В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию  , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.

Напоминаю, что   – это иррациональное число:  , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:

График логарифмической функции

Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом  . Выполним поточечный чертеж:

Графики тригонометрических функций

Построим график функции 

График косинуса

Построим график функции 

Графики тангенса

Построим график функции 

3. Производная и интегралы

Предел функции

Число А называется пределом функции в точке , если для любого существует такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Записывают

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции и ее значение в этой точке равны,

Первый замечательный предел .

Второй замечательный предел

Правило Лопиталя: если

Пример1. Найти

Решение.

Пример2. Вычислить

Решение.

Заменяя каждый из многочленов своим старшим членом, имеем:

Пример3. Найти

Решение.

Имеем неопределенность вида Применяя правило Лопиталя, получаем

Пример4. .Вычислить предел

Решение.

Ответ:

Пример5. Найти асимптоты функции

Решение.

-вертикальные асимптоты.

,

Ответ: -асимптоты.

3.3.Дифференцирование функции одной переменной

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю.

Обозначают

Правила вычисления производных

1. , 2. , 3.

Таблица производных

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Пример 1.Используя правила и формулы дифференцирования найти производные функций: 1)

2) 3) 4)

Решение.

1)

2)

3)

4)

Пример 2. Определить глобальные экстремумы

Решение.

Ответ:

Пример 3. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

Решение.

точки экстремума,

-экстремумы функции,

- промежутки возрастания,

- промежутки убывания.

Пример 4. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

Решение.

- точка перегиба.

- выпуклость направленная вверх.

- выпуклость направленная вниз.

Пример 5. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции

Решение.

- вертикальная асимптота.

- горизонтальная асимптота

- функция нечетная

Точки пересечения с осями:

с ох, у=0 – нет точек, с оу, х=0 – нет точек.

Точки экстремума:

- точки экстремума,

-экстремумы функции.

Точки перегиба:

- точка перегиба.

Интеграл

Определение Функция назывется первообразной функции

, если ее производная равна .

Определение.Если - некая первообразная для функции , то , где С – некая постоянная, дает нам совокупность всех первообразных функции и называется неопределенным интегралом функции

Обозначение его

Основные свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица основных интегралов:

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

Формула интегрирования по частям

Определение. Пусть на замкнутом промежутке задана непрерывная функция и - произвольное разбиение отрезка .

Сумма вида где - некоторое число из отрезка , а - длина этого отрезка, называется интегральной суммой функции на отрезке .

Определенным интнгралом от функции на отрезке называется предел последовательности интегральных сумм при бесконечном дроблении отрезка , обозначают

Формула Ньютона-Лейбница:

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение.

Пример 2. Найти неопределенный интеграл

1)

Решение.

Ответ:

2)

Решение.

Ответ:

3)

Решение.

Ответ:

Пример 3. Вычислить

Решение.

Ответ:

Пример 4. Определить объем тела вращения вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной кривыми

Решение.

Ответ: