- •Введение в математический анализ. По книге Лузина «Дифференциальное исчисление». Первые 5 глав.
- •1. Число.
- •1.1. Поле рациональных чисел.
- •1.2. Рациональные и иррациональные точки.
- •1.3. Несоизмеримые отрезки.
- •1.4. Определите, к какому свойству абсолютных величин относится данный пример.
- •1.5. На нуль делить запрещается.
- •2. Величина.
- •2.1. Классификация величин.
- •2.2. Найдите приращение величины:
- •3. Функция.
- •3.1. Определите, являются ли следующие переменные зависимыми или независимыми.
- •3.2. Найдите область определения функции.
- •3.3. Классификация функций.
- •4. Предел.
- •4.1. Определите, каким способом данная переменная величина приближается к своему пределу.
- •4.2. Определите, какие из данных величин бесконечно малые или могут быть таковыми, в тех случаях, когда это возможно.
- •4.3. Задачи на основные теоремы из теории пределов.
- •4.4.Определите, какие из величин являются положительно бесконечными большими, какие—отрицательно бесконечно большими, а какие—просто бесконечными.
- •5. Непрерывность.
- •5.1. Свойства функций, непрерывных в точке.
- •5.2. Испытать непрерывность функции, заданной описанием.
- •5.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •5.4. Пределы функции. Пределы в бесконечности.
- •5.5. Типы разрывов функций. Неустранимый и устранимый разрывы.
- •5.6. Кажущийся разрыв и так называемая «истинная величина» функции.
- •5.7. Натуральные логарифмы.
4.4.Определите, какие из величин являются положительно бесконечными большими, какие—отрицательно бесконечно большими, а какие—просто бесконечными.
№29. А) Температура в космосе; б) расстояние до отдаляющегося предмета; в)пройденное всеми людьми расстояние.
№30. А) Отношение скорости света к скорости других тел; б) сумма значений температуры на Земле, меньших нуля за n дней; в)сумма разностей расстояний между n объектами, движущимися по одной прямой с разными скоростями в одном и том же направлении.
5. Непрерывность.
5.1. Свойства функций, непрерывных в точке.
№31. Является ли движение шахматного коня непрерывным? А движение стрелок часов?
№32. Определите, к какому из основных свойств функции, непрерывной в точке, относится данный фрагмент.
Все разности функций, описывающих равные окружности, дают снова окружность, равную остальным.
Грузоподъёмность лифта имеет пределом величину, соответствующую ситуации, когда значение массы находящихся в лифте достигает определённого значения.
Даже если мы напишем не sin{a}, а sin{2a}, непрерывность функции sin{x} от этого нисколько не изменится.
5.2. Испытать непрерывность функции, заданной описанием.
№33. А) Студент, выйдя из станции метро, шёл в институт в течение 3 минут. Является ли непрерывной на некотором отрезке отрезках функцией от времени его скорость? Б) Путешественник дошёл от одного села до другого, а после ночлега вернулся домой. Является ли функция, показывающая зависимость времени, которое он шёл, от пути, непрерывной на некотором отрезке? 3) Бегуны соревновались на олимпиаде. Является ли непрерывной функцией от скорости на некотором отрезке отношение пробеганных ими расстояний
5.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
№34. У хозяина дачи была лампа, имевшая три кнопки: нажимая и держа одну из них, можно было делать свет всё тусклее и тусклее; нажимая на другую, аналогично можно было увеличивать яркость света; нажимая на третью, можно было включить или выключить лампу. Какие кнопки надо нажимать и в каком порядке, чтобы функция яркости от времени была непрерывной на каком-либо отрезке?
№35. На стене дома дачи был расположен термометр. Какие из следующих трёх утверждений верны: а) В любой достаточно большой период времени температура примет по крайней мере три значвения; б) В любые три достаточно отдалённые друг от друга моменты времени хозяин дачи обнаружит разные значения температуры; в) чем меньше момент времени, разделяющий две проверки значений температуры на термометре, тем более близка к нулю разность третьего значения и одного из первых?
5.4. Пределы функции. Пределы в бесконечности.
№36. Определите, является ли данный предел пределом справа от данной точки или пределом слева от данной точки там, где это возможно.
А) Предел температуры льда, положенного на горячую поверхность; б)Предел высоты человека над уровнем земли, находящегося над первым этажом; в) Предел массы сжимаемого газа; г) Предел температуры жидкой ртути; д) Предел скорости падающего снаряда.
№37. Является ли данная функция непрепрывной в некоторой точке?
А) Функция погрешности измерения, где погрешность равна a; б) функция угла наклона дерева от нескольких переменных (в т.ч. силы ветра, массы и реакции опоры); в) Функция, задающая для номеров ходов , в которых ходит белый или чёрный конь обозначение поля, куда он пошёл.