3.2 Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

3.3 Геометрический способ решения

3.4 Решение квадратных уравнений методом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

ах² + bх + с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а² х² + а bх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению

у² + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х₁ = и х₁ = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример

2х² – 11х + 15 = 0, «перебросим» коэффициент 2 к свободному члену:

у² – 11у + 30 = 0, согласно теореме Виета найдем корни:

у₁у₂ = 30 и у₁ + у₂ = 11,

у₁ = 5 и у₂ = 6, окончательно получим:

х₁ = 5/2 и х₂ = 6/2,

х₁ = 2,5 и х₂ = 3.

Ответ: 2,5 и 3.

3.5 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы:

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, о котором рассказывается в Таблице XXII Четырехзначных математических таблиц, автор Брадис В.М. Номограмма для решения уравнения z² + рz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам ОВ = , АВ = .

Полагая, что ОС = р, ЕД =q, ОЕ = а, из подобия треугольников САН и СДF получим пропорцию . Подставив, ОВ = , АВ = , получим 1+z 0

p – q = p + pz +z

z + pz + q = 0

Из пропорции после подстановок и упрощений получаем уравнение z² + рz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

p

q

O

B

E

F

D

H

A

х² – 9х + 8 = 0

Соединим b=-9 и c=8, номограмма даёт корни: х₁ = 8 и х₂ = 1

Из эксперимента:

2х² – 9х + 4 = 0 / :2

х² - 4,5х + 2 = 0

Соединим b=-4,5 и c=2, номограмма даёт корни: х₁ = 4 и х₂ = 0,5

III. Практическая часть

Методика 1. Социологическое исследование среди 8-9 классов нашей школы на предмет решения квадратных уравнений.

Цель – выявить число учащихся, знающих и умеющих решать квадратные уравнения различными способами. Выявить потребность учащихся в изучении новых способов решения.

Ход работы: исследование (Приложение 1. Анкета) проводила среди учащихся 8-9 классов и получила следующие результаты:

68% учащихся решают квадратные уравнения по формуле;

56% учащихся используют только один способ для решения;

38% учащихся знают три способа решения квадратных уравнений;

61% учащихся хотели бы узнать новые способы решений квадратных уравнений.

Вывод: Большинство учащихся решают уравнения по формуле, знают хорошо только этот способ решения и хотели бы узнать новые способы решения квадратных уравнений. (Приложение 2. Диаграммы)

Методика 2. Разработка буклета

Цель – разработать буклет по теме: «Квадратные уравнения».

Ход работы: используя программу Microsoft Publisher, я создала буклет, в который внесла основные формулы для решения квадратных уравнений.

Вывод: В буклет внесены основные правила и формулы необходимые для решения уравнений. (Приложение 3)

Методика 3. Создание справочника

Цель – разработать справочник для учащихся

Ход работы: я рассмотрела различные источники и нашла информацию по решению квадратных уравнений, которую собрала в справочнике.

Вывод: Данный справочник могут использовать как учащиеся для самостоятельного изучения и для подготовки к экзаменам, так и учителя на уроках математики. (Приложение 4)