3. Указание. Можно доказать неравенство
Действительно,
умножим обе части последнего неравенства
на
.
Тогда дробь вида
,
где х
принимает значения от 1 до п,
будет неправильной, т.е.
,
т.е.
Тогда
Значит,
.
Таким образом, неравенство верно при n
= 20072 =
4028049.
Ответ: 4028049.
4. Решение. Пусть путешественник получил все ответы. Заменим теперь всех лжецов на правдивых, а правдивых — на лжецов. Тогда ответы будут те же. Действительно, лжец про лжеца скажет то же самое, что правдивый про правдивого, т. е. скажет, что сосед справа — правдивый; лжец про правдивого скажет то же самое, что правдивый про лжеца, т. е. скажет, что сосед справа — лжец. Значит, полученные ответы позволяют различить ситуации, получающиеся друг из друга указанной заменой. Но путешественник по ответам все же однозначно узнал долю лжецов. Значит, эти две ситуации не отличались, что означает, что доля лжецов равна 50%.
Приведём пример, показывающий, что описанная в условии ситуация возможна. Пусть в деревне чётное число жителей и каждый сказал, что его сосед справа — лжец. Тогда правдивые жители и лжецы "чередуются".
Ответ: 50%.
5. Указание. А) Пример пятиугольника, удовлетворяющего условию задачи, приведен на рисунке.
Рассмотрим свойства этого пятиугольника. Возьмем равнобедренный прямоугольный треугольник EAB, проведем серединные перпендикуляры к сторонам EA, AB и на них построим точки C и D так, что ED = BC = AB (т. е. прямые BC и ED образуют с соответствующими серединными перпендикулярами углы в 30o). Ясно, что DE = BC = AB = EA < EB < DC и DB = DA = CA = CE > EB.
б) Для решения
задачи достаточно доказать, что
.