Ответы, указания, решения

10 (11), 11 (12) Классы

1. Решение. При х = у данное уравнение не имеет целочисленного решения.

Если х = 0, то у = 2007, если у = 0, то х = 2007.

Разложим число 2007 на простые множители: 2007 = 3²  223. Тогда, уравнение принимает вид . Получаем: и или и .

Значит, целочисленные решения данного уравнения - (0;2007), (2007;0), (223; 892) и (892; 223).

Ответ: (0;2007), (2007;0), (223; 892), (892; 223).

2. Доказательство. Учитывая, что abc = 1, получаем:

(1 + a)(1 + b)(1 + c) = (1 + а + b + ab)(1 + c) =

= 1 + а + b + c + ac + ab + bc = 2 + а + b + c +  8.

3. Решение. Заметим, что сумма коэффициентов многочлена равна значению этого многочлена при x = 1. Действительно, для многочлена

P(x) = a_kx^k + a_k–1x^k–1 + ... + a₁x + a₀

получаем:

P(1) = a_k  1 + a_k–1  1 + ... + a₁  1 + a₀ = .

Таким образом, сумма коэффициентов многочлена Q равна

Q(1) = (P₁P₂...P₅)(1) = P₁(1)P₂(1) P₃(1)P₄(1)P₅(1) = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120.

Ответ: 120.

4. Решение. При правильной игре Снегурочка она должна первым ходом стереть одну букву «о». Тогда на доске останется «четная» позиция: шесть единичных букв и по две буквы «о» и «м». После этого Снегурочка должна отвечать на каждый ход Деда Мороза, сохраняя «четность» позиции. А именно, если Дед Мороз стирает единичную букву, то и Снегурочка стирает единичную букву, если он стирает букву «о» или «м», то она стирает столько же букв «м» или «о».

Ответ: Снегурочка.

5. Решение. Рассмотрим треугольник АВС, у которого AC = 13, AB = 14, BC = 15, O - центр окружности, расположенный на стороне AB, P и Q — точки касания окружности со сторонами AC и BC соответственно. Обозначим буквой R радиус этой окружности.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона

.

По свойству радиусов, проведенных в точку касания радиусы OP и OQ являются высотами треугольников AOC и BOC. Поэтому

Следовательно,

Ответ: 6. Ответы, указания, решения

11 Класс

1. Доказательство. Предположим, что наибольшее число a стоит не с края. Тогда у него в таблице есть все четыре соседних числа a₁, a₂, a₃, a₄ и при этом a = (a₁ + a₂ + a₃ + a₄) / 4. Но a > a₁, a > a₂, a > a₃, a > a₄. Поэтому a > (a₁ + a₂ + a₃ + a₄) / 4. Приходим к противоречию.

2. Решение. Заметим сначала, что числа 300 и 198 кратны числу 3, поэтому остаток от деления на 3 суммы денег, лежащей на счете всегда будет равен 2. Поэтому снять со счета более 498 $ не удастся. Будем обозначать допустимые операции: –300 и +198. Снять со счета 498 $ позволит следующая последовательность операций:

–300 + 198 –300 + 198 + 198 –300 + 198 –30_.

16 раз

Покажем, что эта последовательность операций осуществима. Непосредственно проверкой убеждаемся, что можно выполнить первые восемь операций после чего на счете останется не менее 92 $. А после каждой следующей серии операции +198 + 198 –300 + 198 –300 в банке остаётся ровно на 6 $ меньше, чем было. После выполнения всех операций на счете останется 2 $.

Ответ: 498 $.