Ответы, указания, решения

8 Класс

1. Решение. Очевидно, что искомое число четырехзначное. Тогда

1000a + 100b + 10c + d + a + b + c + d = 2008,

1001a + 101b + 11c + 2d = 2008.

При а = 1 получим 101b + 11c + 2d = 1007. Если b = 8, то 11с + 2d = 199; в этом случае решений нет.

Если b = 9, то 11с + 2d = 98 и с = 8, d = 5. Получаем число 1985.

При а = 2 получаем 101b + 11c + 2d = 6, откуда b = c = 0, d = 3. Получаем число 2003.

Ответ: 1985 и 2003.

2. Решение. Запись квадрата натурального числа может оканчиваться одной из цифр 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Последняя цифра четвертой степени натурального числа - 0, 1, 5 или 6. Поэтому число 200820082008 получиться не могло.

Ответ: нет.

3. Решение. Одним из множителей является разность х – х. Поэтому значение данного выражения равно 0.

Ответ: 0.

4. Решение. Мудрец рассуждал так: «Если на мне колпак зеленого цвета, то оба мудреца видят перед собой зеленый и красный колпаки и понимают, что задача не может быть решена однозначно и должны выйти из комнаты. Но они этого не сделали. Значит, на мне красный колпак.»

5. Указание. Нужно расположить квадраты так, как показано на рисунке, и провести средние линии большего квадрата.

Получится четыре равных квадрата, в каждом из которых часть вписанного квадрата будет занимать ровно половину площади. Значит, площадь вписанного квадрата будет составлять ровно половину площади описанного квадрата.

Ответ: 2 : 1

Ответы, указания, решения

9 Класс

1..Решение. Преобразовывая данное выражение, получаем:

20082008 + 20082007 ∙ 20082008 ∙ 20082009 =

= 20082008  (1 + 20082007 ∙ 20082009) =

= 20082008  (1 + (20082008 – 1)  (20082008 + 1)) =

= 20082008  (1 + 20082008² – 1) = 20082008³.

Ответ: является.

2. Доказательство. Рассмотрим разность

(а³ + b³ + c³) – (a + b + c) = а³ – а + b³ – b + c³ – c =

= a (a – 1)(a + 1) + b(b – 1)(b + 1) + c (c – 1)(c + 1)

В последнем числовом выражении каждое из трех слагаемых представляет собой произведение трех последовательных чисел, одно из которых делится на 2, и еще одно – на 3. Значит, данная разность делится на 6, т.е. выражения а³ + b³ + c³ и a + b + c кратны числу 6 одновременно.

3. Решение. Обозначая числа а₁, а₂, … а₂₀, запишем соответствующие равенства:

а₁=а₂+а₂₀, а₂=а₁+а₃, а₃=а₂+а₄, …, а₂₀= а₁+а₁₉.

Пусть сумма всех 20 чисел равна М. Складывая все записанные равенства, получаем М = 2М, откуда М = 0.

Ответ: 0.

4. Решение. Разделим всех людей в вагоне на 4 группы: русые мужчины, русые женщины, не русые мужчины, не русые женщины. По условию в вагоне 80 % русых, значит, не русых – 20 %. В вагоне 70 % - мужчины, значит, 30 % - женщины. Пусть в вагоне х % не русых женщин. Тогда, русых женщин

(30 – х) %.

Кроме того, в вагоне (20 – х )% не русых мужчин. Значит, русых мужчин

100 % – х % – (30 – х) % – (20 – х) % = 50 % + х %,

т.е. большинство.

Ответ: верно.

5. Ответ. Требуемое разрезание представлено на рисунке. Получаются 1 квадрат 3  3, 2 квадрата 2  2 и 10 квадратов 1  1.

Ответы, указания, решения

10 (12) класс

1. Решение. Обозначая искомое число а, имеем: 2а – точный квадрат, 3а – точный куб. Так как после утроения число становится точным кубом, то оно должно иметь вид 3²т. Поскольку числа 2 и 3 взаимно простые, то искомое число должно иметь вид 2∙3²∙п, откуда п = 2² в силу того, что число 2∙3²∙п является кубом.

Значит искомое число равно 8 ∙ 9 = 72.

Ответ: 72.

2. Решение. Так как правая часть уравнения является степенью натурального числа, то и левая часть уравнения тоже является степенью натурального числа. Поэтому будем искать m и n в виде степени с основанием 2007.

Пусть m = 2007^х и n = 2007^у. Тогда 2007^{2007х + 1} = 2007^2008у. Значит,

2007х + 1 = 2008у или 2007(х – у) + 1 = у.

Пусть х – у = k. Тогда, у = 2007k + 1, x = y + k = 2008k + 1.

При k = 0 имеем m = 2007 и n = 2007.

При k = 1 получаем m = 2007²⁰⁰⁹ и n = 2007²⁰⁰⁸.

Ответ: (2007;2007), (2007²⁰⁰⁹;2007²⁰⁰⁸).

3. Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием АС.

Разделить его на два равнобедренных треугольника можно двумя способами.

а) Через вершину В проведем прямую ВD ( ). Получатся треугольники ABD и CBD.

В

A D C

Случай AB = BD невозможен, так как тогда и СB = BD (и обратно), откуда следует, что точка D совпадает с точкой А или с точкой С.

Случай AB = АD противоречит неравенству треугольника, так как тогда СB = СD и AB + СB = АD + СD = АС.

Поэтому АD = BD = СD. В этом случае треугольник АВС – равнобедренный прямоугольный, углы которого равны 90, 45, 45.

б) Через вершину угла при основании проведем прямую AD, (или прямую CD, ).

В

D

А С

В этом случае АС = AD = BD.

Обозначим АСВ = х. Тогда

АDС = x, АВС = ВАD = 180 – 2х и DAС = 180 – 2х.

Получаем:

ВАС = BAD + DAС = (180 – 2х) + (180 – 2х) =360 – 4x, т.е.

х = 360 – 4x, откуда х = 72.

Рассчитаем углы треугольника АВС: 72, 72и 36.

Ответ: 90, 45 и 45; 72, 72и 36.

4. Решение. В каждый бидон перелито объёма бака. Значит, объём первого бидона равен объема бака, объём второго бидона равен объема бака, объём третьего равен объема бака.

Поскольку все значения объемов - целые числа, то вместимость бака должна быть кратна 2, 3 и 9. Следовательно, наименьшая вместимость бака равна НОК(2, 3, 9) = 18 литрам.

Ответ: 18 л.

5. Решение. Пусть точка P находится внутри равностороннего треугольника ABC.

В

h₁

h₂

Р

h₃

А С

Обозначим буквой a сторону треугольника, буквой S - его площадь, h₁, h₂, h₃ - расстояния от точки P до сторон AB, BC и CA соответственно.

Соединим отрезками точку Р с вершинами треугольника. Тогда

Получаем

Значит, сумма расстояний не зависит от расположения точки внутри равностороннего треугольника.