Указания, решения и комментарии

7 (VIII´)класс

1. Ответ: 2519.

Решение. Найдём число, которое на 1 больше искомого. Если искомое число А, то число А+1 делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без остатка. Наименьшим число, которое кратно каждому из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 является число, которое равно произведению

5 · 7 · 8 · 9 = 2520.

Действительно, число 2520 делится на 8, а, следовательно, на 2 и на 4; это число делится на 9, а, следовательно, и на 3; поскольку число 2520 делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6. Таким образом, число 2520 делится на все числа без остатка. Тогда число

2520 – 1 = 2519

делится на каждое данное число с наибольшим остатком.

2. Ответ: 34 ученика, 36 учеников.

Решение. Поскольку количество учащихся в каждом классе натуральное, и числитель и знаменатель каждой дроби и - взаимно простые числа, то число учащихся первого класса кратно 17, а второго класса – кратно 9. Составим таблицу возможных значений учащихся в каждом классе в зависимости от числа учащихся первого класса, обозначив это количество буквой а:

а	17	34	51	68
70-а	53	36	29	2

Только одна пара чисел – 34 и 36 – удовлетворяет утверждению задачи: 34 кратно 17, а 36 кратно 9.

3. Ответ: 12, 4, 20, 64.

Решение. Обозначим данные числа буквами а, b, с и d. По условию задачи:

a + b + с + d = 100,

a + 4 = b – 4 = 4 c = .

Выражая из второго равенства a, b и с через d и, подставляя полученные выражения в первое равенство, находим d=64, a=12, b=4, c=20.

4. Ответ: при правильной игре всегда выигрывает второй игрок.

Решение. Своим первым ходом первый игрок закрашивает 5 подряд идущих клеток,

414

Рис. 1

второй, отступив на 4 клетки от одного из краев полоски, закрашивает 4 клетки подряд (Рис. 1). В дальнейшем второй игрок делает любые ответные ходы, сохраняя незакрашенными 4 крайние клетки на одном из краев полоски. Когда других ходов не остается, второй игрок закрашивает эти клетки. У первого игрока ответного хода нет.

5. Ответ: 2004  мм.

Решение. Длина диаметра каждой окружности равна

D = мм;

длина каждой окружности равна

а длина n таких окружностей –

(мм).

Указания, решения и комментарии

8 Класс

1. Ответ: 45.

Решение. Первая цифра пятизначного числа может быть любой из девяти –

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; третья, четвертая и пятая – 0. Вторая цифра числа, кратного 1000 – любая из десяти 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а числа, кратного 2000 – любая из пяти – 0, 2, 4, 6, 8. Поэтому пятизначных чисел, кратных 1000

9 · 10 · 1 · 1 · 1 = 90,

а кратных 2000

9 · 5 · 1 · 1 · 1 = 45.

Значит, чисел, удовлетворяющих условию задачи:

90 – 45 = 45.

2. Ответ: не хватит.

Решение. Обозначая n = 400, получаем:

n⁵–(n–1)² (n³+2n²+3n+4) =

= n⁵–(n–1) (n⁴+n³+n²+n–4) =

= n⁵–(n⁵–5n+4) = 5n–4 =

= 5 · 400–4 = 1996 (рублей).

Т.к. 19962004, то денег на мороженое не хватает.

3. Доказательство.

Если объединить учеников в группы по фамилиям, то каждый войдет в одну группу по фамилии и вторую – по имени; причем, группа может состоять и из одного человека, если у ученика, например, нет тёзки или однофамильца. Всего в классе образуется 11 групп: есть группы из 1, 2, 3, 4, 5, …, 11 человек. Поскольку

1+2+3+…+11 = 66 = 2 · 33, то каждый ученик уже учтен дважды, а, следовательно, групп равно 11.

Рассмотрим группу из 11 человек – допустим, однофамильцев. В других группах меньше 11 человек. Групп тёзок не более десяти. Значит, два однофамильца из 11 обязательно входят в одну группу тёзок, т.е. у них одинаковы и имя и фамилия.

4. Ответ: второй.

Решение. После первого хода первого игрока второму игроку надо первым ходом закрасить в любом из свободных углов доски три клетки уголком так, что оставить незакрашенными три клетки (Рис. 1),

Рис. 1

которые образуют уголок. В дальнейшем второй игрок делает любые ходы, не закрашивая эти три клетки. Когда других возможных ходов не остается, второй игрок закрашивает этот уголок. Ответного хода у первого игрока нет.

5. Доказательство.

А С В D N M

На отрезке ВМ отметим точку N так, что BDN = 60°. Тогда в треугольнике BDN: В = 60° как угол, вертикальный углу равностороннего треугольника,   D = 60° – по построению. Следовательно, по теореме о сумме углов треугольника BDN=60°. Значит, треу-гольник BDN – равносторон-ний. Поэтому BD = BN = DN.

Получаем: MN = BM – BN = CD – BD = CB = AB.

Рассмотрим треугольники ADB и MDN:

AB = NM, BD = DN и ABD = MND как внешние углы равносторонних треугольников. Значит, треугольники ADB и MDN равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому AD = DM.