Задания районной, городской олимпиады по математике 2004 года

7 (VIII´) класс

1. Найдите наименьшее число, которое

при делении на 2 дает остаток 1,

при делении на 3 дает остаток 2,

при делении на 4 дает остаток 3,

при делении на 5 дает остаток 4,

при делении на 6 дает остаток 5,

при делении на 7 дает остаток 6,

при делении на 8 дает остаток 7,

при делении на 9 дает остаток 8.

(6 баллов)

2. В двух седьмых классах 70 учеников. учеников одного класса и учеников другого посещают различные кружки и факультативы. Сколько учеников в каждом классе?

(7 баллов)

3. Сумма четырех чисел равна 100. Если первое число увеличить на 4, второе – в 4 раза, третье число уменьшить на 4, а четвертое – в 4 раза, получатся равные результаты. Найдите эти числа.

(8 баллов)

4. На полоске клетчатой бумаги двое играющих по очереди закрашивают клетки: первый всегда закрашивает пять любых подряд идущих клеток, второй – четыре клетки подряд. Причем, уже закрашенную клетку второй раз красить нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре – первый или второй, если по длине полоски размещено 2004 клетки? (Рис. 1)

Рис. 1

(9 баллов)

5. Отрезок AB длиной 2004 мм разбит на n равных отрезков, на каждом из которых, как на диаметре, построена окружность (на рисунке 2 изображено в качестве примера разбиение на 7 равных отрезков).

A B

Рис. 2

Определите значения, которые может принимать сумма длин всех этих окружностей.

(10 баллов)

Задания районной, городской олимпиады по математике 2004 года

8 Класс

1. Установите количество пятизначных чисел, кратных числу 1000, но не кратных числу 2000.

(7 баллов)

2. У Наташи

400⁵–399²  · (400³+2 · 400²+3·400+4) рублей.

Мороженое стоит 2004 рубля. Хватит ли у Наташи денег на мороженое?

(6 баллов)

3. В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тёзок и сколько однофамильцев (включая и родственников). Среди ответов учащихся встретились все целые числа от 0 до 10. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми фамилией и именем.

(8 баллов)

4. На 100-клеточной квадратной белой доске два игрока закрашивают ее клетки в черный цвет: первый всегда закрашивает квадрат 2х2, а второй – уголок, образованный тремя клетками. Уже закрашенную клетку второй раз красить нельзя. Какой игрок – первый или второй – выиграет при правильной игре?

(9 баллов)

5. Дан равносторонний треугольник АВС. На продолжении стороны СВ за точку В отмечена точка D, а на продолжение стороны AB за точку В – точка М так, что CD = ВМ. Докажите, что AD = DМ.

(10 баллов)