Вопрос 15. Поиск оптимальных стратегий для игр с природой в условиях неопределённости (критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица)

В условиях полной неопределенности используются критерии, не требующие знания вероятностей состояний природы - критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и ряд других.

Критерий Вальда (принцип гарантированного результата)

Данный критерий заключается в выборе в качестве оптимальной той стратегии, которая имеет наибольшее среди наименее благоприятных состояний природы значение функции полезности. Оптимальная по критерию Вальда альтернатива обеспечивает гарантированный выигрыш при наихудшем для ЛПР состоянии природы (максиминный критерий):

.

Критерий Сэвиджа (минимаксного риска).

Стратегия выбора по критерию Сэвиджа характеризует потенциальные потери при выборе неоптимального решения, и основана на расчете матрицы рисков. Рекомендуется выбирать ту стратегию, при которой в наихудших условиях величина риска принимает наименьшее значение:

Критерий Гурвица.

Критерий Гурвица представляет собой комбинацию критериев Вальда и крайнего оптимизма. При этом вводятся некоторые весовые коэффициенты и , и предполагается, что природа может находиться в самом невыгодном для ЛПР состоянии с вероятностью и в самом выгодном – с вероятностью .

Функция, описывающая критерий Гурвица, имеет вид:

Очевидно, что при критерий Гурвица превращается в пессимистический критерий Вальда, а при - в критерий крайнего оптимизма. Значение выбирается в зависимости от склонности ЛПР к пессимизму или оптимизму, а также на основании опыта или здравого смысла.

Следует иметь в виду, что не существует общих рекомендаций по выбору критерия принятия решений в условиях неопределенности. Он должен производиться с учетом конкретной специфики задачи, на основе опыта и интуиции ЛПР.

Вопрос 16. Оценка целесообразности проведения эксперимента в играх с природой в условиях неопределенности

Для любой игровой модели может быть определено минимальное значение выигрыша, который ЛПР получит в наихудшей для себя ситуации. Определение более выгодных стратегий требует информации о вероятностях состояний природы. Повышение уровня информированности может быть достигнуто, например, при обращении к консультационной службе, способной составить хорошо обоснованный прогноз развития ситуации. Можно рассматривать данное действие как своего рода эксперимент, проведение которого требует определенных затрат средств.

С экономической точки зрения эксперимент целесообразно проводить лишь тогда, когда затраты на его проведение не превышают потенциального выигрыша, связанного с информацией о состояниях природы.

Пусть для игры с природой известны матрица выигрышей, вероятности различных состояний природы и затраты на проведение эксперимента ( д.е.).

Средний выигрыш игрока в случае отказа от эксперимента равен:

Пусть эксперимент проведен, и выяснено действительное состояние природы. Если этим состоянием оказалось , то выигрыш первого игрока если , то , если , то .

На самом деле истинное состояние природы до эксперимента неизвестно в связи с чем гипотетический средний выигрыш равен

(если бы мы знали, что реализуется, например , то вместо последнего выражения взяли бы ).

Таким образом, эксперимент имеет смысл проводить, если

В противном случае эксперимент неоправдан и для выбора приемлемой стратегии можно использовать один из критериев, рассмотренных ранее.