Вопрос 13. Понятие об играх с природой. Матрицы выигрышей и рисков

Часто неопределенность связана не с сознательным противодействием конкурента, а с не зависящими от человека плохо прогнозируемыми объективными факторами (нестабильность экономической ситуации, изменение спроса на товары, рыночная конъюнктура, отказы технического оборудования и т.д.).

В таких случаях говорят, что последствия решений зависят от состояний природы, а соответствующие ситуациям игровые модели называют играми с природой. В игре с природой осознанно действует только один игрок (I), а сама природа рассматривается как незаинтересованная инстанция, которая не выбирает для себя оптимальных стратегий. Возможные состояния или стратегии природы реализуются случайным образом. Теорию игр с природой называют теорией статистических решений.

Пусть игроку (ЛПР) необходимо принять решение в недостаточно известной обстановке. Предположения относительно состояний природы рассматриваются как стратегии природы, и их совокупность формируется либо на основе имеющегося опыта, либо в результате анализа экспертов. ЛПР может использовать m возможных стратегий - ; его выигрыши при каждой паре стратегий и предполагаются известными и образуют платежную матрицу.

Цель ЛПР - определение такой стратегии, которая обеспечила бы ему наибольший выигрыш.

В играх с природой часто целесообразно не только оценить выигрыш при той или иной игровой ситуации, но и определить разность между максимально возможным выигрышем при данном состоянии природы и выигрышем, который будет получен при применении стратегии в тех же условиях. Эта разность в теории игр называется риском.

Максимальный выигрыш в j-м столбце обозначается через , ( ), и риск игрока при применении им стратегии в условиях определяется как , ( ). Матрица рисков иногда позволяет лучше охарактеризовать неопределенную ситуацию, чем матрица выигрышей.

Вопрос 14. Определение оптимальных стратегий при известных вероятностях состояний природы (критерий оптимизации ожидаемого выигрыша)

Иногда можно оценить вероятности состояний природы на базе статистических наблюдений.

Пусть вероятности состояний природы известны:

и - среднее значение (математическое ожидание) выигрыша

.

В качестве оптимальной выбирается обычно стратегия, которая соответствует максимальному среднему значению выигрыша (так называемый критерий оптимизации ожидаемого значения):

Другой критерий выбора оптимальной стратегии при известных вероятностях состояний природы базируется на использовании показателя риска. Для этого определяется среднее значение риска

и в качестве оптимальной выбирается стратегия, обеспечивающая его минимальное среднее значение:

Можно показать, что применение критериев среднего выигрыша и среднего риска для одних и тех же исходных данных приводит к одному и тому же результату, т.е. оптимальные стратегии, полученные при применении обоих критериев, совпадают.

Если объективные оценки вероятностей состояний получить сложно, то они могут быть оценены субъективно на основе:

принципа недостаточного основания Лапласа

который применяется тогда, когда ни одно состояние природы нельзя предпочесть другому;

убывающей арифметической прогрессии - в том случае, если можно расположить состояния природы в порядке убывания их правдоподобности использования оценки группы экспертов.