Вопрос 11. Решение игр без седловых точек. Понятие о смешанных стратегиях и алгоритм определения средних выигрышей игроков

Большинство игр характеризуется отсутствием в платежной матрице седловых точек. Исход таких игр определить труднее, так как чистой оптимальной стратегии ни для одного из игроков уже не существует. Решение игры в чистых стратегиях отсутствует, и необходимо искать решение в смешанных стратегиях, состоящих в случайном применении двух и более чистых страте­гий с определенными вероятностями. Таким образом – смешанная стратегия игрока – это случайная величина, значениями которой являются его чистые стратегии. Для определения смешанной стратегии необходимо указать вероятности (частоты), с которыми выбираются чистые стратегии игрока. При этом предполагается, что игра повторяется многократно и каждый из игроков, с одной стороны, получает информацию о предыдущих ходах противника, а с другой стороны, хочет скрыть от противника свои намерения в будущих ходах.

Смешанные стратегии игроков I и II будем обозначать, соответственно, и , где , ‑ вероятности применения соответствующих чистых стратегий. Очевидно, должны выполняться условия нормировки для вероятностей:

Так как в игре без седловых точек чистые стратегии игроков и выбираются независимо друг от друга случайным образом с вероятностями соответственно и , то вероятность их совместного выбора, и, следовательно, вероятность выигрыша также равна .

Средний выигрыш первого игрока равен математическому ожиданию

и называется функцией выигрыша первого игрока в смешанных стратегиях. Данную формулу можно записать в матричном виде

где вектор-строка задает вероятности применения различных чистых стратегий первым игроком, - платежная матрица и задает вероятности применения чистых стратегий вторым игроком:

По формуле (*) легко найти выигрыши игроков в случае, когда один из них применяет чистую стратегию, а второй – смешанную.

Так, средний выигрыш первого игрока при условии, что он применяет чистую стратегию , а игрок B – смешанную стратегию, получается заменой в формулах (*) или (**) вектор- строки на :

Аналогично, средний выигрыш первого игрока при условии, что он применяет смешанную стратегию, а игрок В – некоторую чистую стратегию равен:

Приведем алгоритм нахождения оптимальных смешанных стратегий.

В теории игр доказывается, что каждая игра без седловых точек имеет цену , представляющую средний выигрыш, приходящийся на одну партию и удовлетворяющую условию (т. е. лежит между нижней ( ) и верхней ( ) ценами игры). Каждый игрок, придерживаясь смешанной стратегии, при многократном повторении игры получает более выгодный для себя результат. Оптимальное решение игры характеризуется тем, что игроки не заинтересованы в отходе от своих оптимальных смешанных стратегий.

Стратегии, входящие в оптимальные смешанные стратегии, называются активными.

Вопрос 12. Определение оптимальных смешанных стратегий в играх без седловых точек

Пусть игра не имеет оптимального решения в чистых стратегиях, т.е. седловая точка отсутствует .

Будем считать, что все элементы платежной матрицы неотрицательны (если это не так, то можно ко всем элементам матрицы добавить некоторое число L, переводящее платежи в область неотрицательных значений - при этом цена игры увеличится на L, а решение задачи не изменится). Таким образом, предполагаем, что .

Будем искать решение игры в смешанных стратегиях:

; .

Применение игроком I оптимальной смешанной стратегии гарантирует ему, независимо от поведения игрока II, выигрыш, не меньший цены игры  .

Пусть игрок II применяет свою активную чистую j-ю стратегию, а игрок I - свою оптимальную стратегию . Тогда средний выигрыш игрока I будет равен

(1)

Учитывая, что не может быть меньше , запишем условия:

Разделив левую и правую части каждого из неравенств (1) на цену игры , получим:

При использовании обозначений

неравенства (2) примут вид:

(4)

где, очевидно, все , так как .

Условие нормировки с учетом определения (3) дает следующее соотношение

Учитывая, что игрок I стремится максимизировать , получаем линейную функцию

Таким образом, задача определения оптимальной смешанной стратегии свелась к стандартной задаче линейной оптимизации: найти неотрицательные значения переменных , минимизирующие целевую функцию (5) и удовлетворяющие ограничениям (4).

Решение задачи линейной оптимизации позволяет найти цену игры и оптимальную стратегию первого игрока:

Таким образом, оптимальные стратегии первого и второго игроков могут быть найдены путем решения пары двойственных задач линейной оптимизации.

Исходная задача	Двойственная задача

Цена игры и вероятности применения стратегий игроками I и II равны: