Вопрос 9. Общая характеристика матричных игр с нулевой суммой. Понятие о стратегиях, платежной матрице и цене игры.

Платежная матрица – это набор стратегий двух игроков заданный в виде матрицы.

Цена игры это некоторое равновесное положение, при котором игрок К может рассчитывать на равновесный средний выигрыш в случае если оба противника будут вести себя одинаково разумно.

Страте́гия игрока в игре или деловой ситуации — это полный план действий при всевозможных ситуациях, способных возникнуть. Стратегия определяет действие игрока в любой момент игры и для каждого возможного течения игры, способного привести к каждой ситуации.

Набор стратегий — стратегии для каждого из игроков, которые полностью описывают все действия в игре. Набор стратегий обязан включать одну и только одну стратегию для каждого игрока.

Если игрок I имеет стратегий, а игрок II - стратегий, то игра называется матричной игрой размерности .

Пусть игрок I выбрал одну из своих возможных стратегий , а игрок II, не зная результата выбора игрока I, - стратегию . Выигрыши игрока I и игрока II в результате выбора стратегий удовлетворяют соотношению ; т.е. если ввести обозначение , то .

Элементы для каждой пары стратегий записываются в платежную матрицу (табл. 1), строки и столбцы которой определяют стратегии первого и второго игроков соответственно. Каждый элемент матрицы определяет величину выигрыша игрока I и, соответственно, проигрыша игрока II при применении ими соответствующих стратегий. Естественно, целью игрока I является максимизация своего выигрыша, тогда как игрока II - минимизация своего проигрыша.

Таблица 1Платежная матрица парной игры с нулевой суммой.

II I	1	2	…	n
1			…
2			…
…	…	…	…	…
m			…

Вопрос 10. Решение матричных игр методом минимакса

Используя платежную матрицу парной игры с нулевой суммой, определим наилучшие стратегии игроков.

В теории игр предполагается, что противники, участвующие в игре, одинаково разумны, и каждый из них делает все возможное для того достижения своей цели.

Проанализируем стратегии игрока I. Первый игрок, выбирая стратегию , должен рассчитывать, что второй ответит на нее той из своих стратегий , для которой выигрыш игрока I будет минимальным. Найдем минимальное число в каждой строке матрицы и, обозначив его , запишем в добавочный столбец платежной матрицы (см. табл. 2)

Зная числа (свои выигрыши при применении всех стратегий и разумных ответах игрока II), первый игрок должен выбрать такую стратегию, для которой максимально. Обозначив это максимальное значение как , (т.е. ) и используя (1), получим:

Таблица 2

III	1	2	. . .
1			. . .
2			. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
			. . .
			. . .

Величина представляет собой гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе первый игрок и называется нижней ценой игры (максимином). Стратегия, обеспечивающая получение нижней цены игры , называется максиминной стратегией. Если первый игрок будет придерживаться своей максиминной (перестраховочной) стратегии, то ему гарантирован выигрыш, не меньший при любом поведении второго игрока.

В свою очередь, второй игрок стремится уменьшить свой проигрыш или, - что то же самое, - выигрыш первого игрока обратить в минимум. Поэтому для выбора своей наилучшей стратегии он должен найти максимальное значение выигрыша первого игрока в каждом из столбцов и среди этих значений выбрать наименьшее. Обозначим через максимальный элемент в каждом столбце и запишем эти элементы в дополнительной строке табл. 2. Наименьшее значение среди обозначим через ; эта величина представляет собой верхнюю цену игры (минимакс), которая определяется по формуле:

Стратегия игрока II, обеспечивающая «выигрыш» , является его минимаксной стратегией. Выбор минимаксной стратегии игроком II гарантирует ему проигрыш не больше .

В теории игр доказывается, что для нижней и верхней цены игры всегда справедливо неравенство:

.

Игры, для которых нижняя цена равна верхней, т. е. , называются играми с седловой точкой.

Общее значение нижней и верхней цены игры в играх с седловой точкой называется чистой ценой игры , а соответствующие стратегии - оптимальными чистыми стратегиями. Элемент является одновременно минимальным в i-й строке и максимальным в j-м столбце. Оптимальные стратегии определяют в игре положение равновесия, так как каждому из игроков невыгодно отходить от своей оптимальной стратегии. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.