Вопрос 41. Сущность имитационного моделирования и типы имитационных моделей

Техника имитации базируется на случайной выборке. Это означает, что любой результат, полученный путем ИМ, подвержен экспериментальным ошибкам, и, следовательно, как в любом статистическом эксперименте, должен основываться на результатах соответствующих статистических проверок.

Все современные модели ИМ базируются на использовании универсального метода статистического моделирования (метод Монте-Карло). Основная идея этого метода состоит в использовании выборки (генерации) случайных чисел для получения требуемых оценок параметров изучаемых систем.

Вместо описания процесса с помощью аналитического аппарата (алгебраических, дифференциальных или разностных уравнений), производится имитация (“розыгрыш”) случайного явления. Каждая случайная реализация практически не дает никакой полезной информации о поведении моделируемой системы, однако информация о результатах достаточно большого числа реализаций может использоваться как искусственно полученный статистический материал для обработки. В результате такой обработки оцениваются представляющие интерес характеристики (вероятности событий, математические ожидания и дисперсии параметров исследуемой системы и т.п.).

ИМ оказывается практически единственным методом исследования сложных процессов с большим числом элементов, в которых случайные факторы сложно переплетены, а функциональные связи между параметрами систем часто неизвестны.

Примером является многоканальная немарковская СМО с очередью (времена между поступлениями заявок, обслуживания, безотказной работы каналов и время их ремонта не описываются показательным распределением). Требуется найти характеристики СМО - вероятности состояний как функции времени, среднюю длину очереди, среднее время пребывания заявки в системе и т.д.

Хотя аналитическое решение данной задачи невозможно, с помощью ИМ исследование может быть проведено достаточно просто. На компьютере производится имитация функционирования СМО и требуемые вероятности оцениваются по частотам наступления различных исходов, а математические ожидания – как средние арифметические значения полученных при имитации случайных величин.

Можно выделить два типа имитационных моделей.

Непрерывные модели используются для систем, поведение которых изменяется непрерывно во времени (пример – народонаселение мира).

Дискретные модели описывают системы, поведение которых изменяется лишь в заданные моменты времени (например – очередь). Те моменты времени, когда в системе происходят изменения, определяют события модели (например, приход или уход клиента). В теории принятия решений, как правило, используют именно дискретные модели.

Вопрос 42. Имитационное моделирование случайных событий и величин с помощью равномерного распределения

Для имитации случайных событий и величин, описываемых различными функциями распределения, используется генерация случайных чисел, равномерно распределенных внутри отрезка [0,1]. Генерация какого-либо конкретного числа из этого отрезка влечет за собой конкретную реализацию изучаемого процесса или явления. Используя равномерное распределение, можно получить ответы на вопросы типа:

1. Произошло ли событие A?

Пусть событие A имеет вероятность p. Изобразим отрезок [0,1] и соответствующую событию вероятность на графике. Разыграем (сгенерируем) случайное число R, и если оно окажется меньше p, будем считать, что событие произошло, в противном случае – нет (на рисунке изображен как раз такой случай, т.к. ).

Какое из нескольких событий произошло?

Пусть события несовместны и образуют полную группу, тогда сумма их вероятностей равна единице. Разделим отрезок [0,1] на участков длины и будем считать, что произошло то из событий, на чей участок попало число R (на приведенном ниже рисунке произошло A3)

Какое значение приняла случайная величина ?

Если случайная величина дискретна, т.е. принимает значения с вероятностями , то этот случай сводится к предыдущему. Рассмотрим случай, когда случайная величина непрерывна и имеет заданную плотность вероятности . Чтобы разыграть ее значение, достаточно перейти от плотности вероятности к функции распределения по формуле

и найти для функции F обратную к ней функцию. Затем разыгрывается случайное число R от 0 до 1 и ищется значение , которому соответствует значение функции распределения . Графически процедура представлена на рисунке ниже

Какую совокупность значений приняли случайные величины ?

Если рассматриваемые случайные величины независимы, то достаточно раз повторить процедуру, описанную в пункте 3. В случае их зависимости необходимо учитывать условный закон распределения каждой случайной величины.

Таким образом, все рассмотренные случаи сводятся к розыгрышу случайного числа R, равномерно распределенного в отрезке [0,1].

При компьютерном моделировании используется алгоритм генерации псевдослучайных чисел; при “ручном” – таблицы случайных чисел.