Вопрос 32. Мм-модель стохастического программирования и алгоритм ее решения

ММ- формулировка задачи СП

При так называемой ММ-постановке задачи СП требуется найти оптимум целевой функции вида:

где в качестве коэффициентов ЦФ используются математические ожидания ее параметров . При этом, естественно, предполагается, что известен вероятностный закон распределения параметров , либо, по -крайней мере, их средние ожидаемые значения (математические ожидания). Ограничения задачи в данной постановке имеют вид:

где - математические ожидания соответствующих случайных величин , которые также могут быть найдены либо теоретически по известному закону распределения, либо эмпирическим путем с помощью статистической обработки данных наблюдений.

Таким образом, в данной постановке задача сводится к обычной задаче линейного программирования путем замены

.

К сожалению, данный простой подход часто не позволяет найти действительно оптимальное решение, в связи с чем приходится использовать более сложные методы решения задач СП.

Вопрос 33. Мр – модель стохастического программирования: постановка задачи, алгоритм решения и экономические последствия учета фактора неопределенности

При данной постановке ЦФ также имеет вид

однако ограничения записываются в виде

т.е. предполагается, что вероятность выполнения каждого ограничения должна быть не менее заданной (установленной) величины . Задачу с условиями типа (3) называют задачей с вероятностными ограничениями.

Рассмотрим алгоритм решения задач данного типа. Будем предполагать, что величины подчиняются нормальному закону распределения, и известны их математические ожидания, а также дисперсии величин

, .

Для простоты предположим также, что как , так и являются независимыми нормально распределенными случайными величинами, т.е.

;

и

.

Введем обозначение . Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием

и дисперсией

где учтена независимость , а также то, что неизвестные рассматриваются как детерминированные величины.

где - квантиль стандартного нормального распределения.

Таким образом, из (4) и монотонного возрастания функции нормального распределения следует неравенство

откуда

Так как , получим, окончательно, детерминированный эквивалент задачи стохастического программирования с вероятностными ограничениями:

Решение модели (5), может быть получено путем ввода ряда новых переменных

что дает

Система (6) описывает задачу нелинейного программирования, которая может быть эффективно решена с помощью стандартных пакетов прикладных программ, например MS Excel.

Проанализируем отличия модели с вероятностными ограничениями (5) от стандартной модели с детерминированными ограничениями. Иными словами, определим, какие изменения вносит в исходную модель случайный характер параметров модели.

Введем обозначение

Анализ ограничений системы (5) показывает, что отличие от детерминированной задачи линейного программирования заключается в том, что ресурсы уменьшаются на величины . Это означает, что следствием стохастичности модели (случайности ее параметров) является необходимость увеличения ресурсов именно на величину («плата за риск»). Например, для обеспечения гарантии выпуска продукции в заданном объеме в условиях неопределенности необходимо предполагаемые ресурсы увеличить на величины , иначе возможно уменьшение запланированного объема выпуска.

Из соотношения (7) видно, что на величины влияют вероятностные характеристики параметров модели:

• - дисперсии значений норм расхода; и

• - дисперсии ресурсов.

Очевидно, увеличение дисперсий приводит к необходимости увеличения «страховых запасов» . Важно также, что увеличение заданных уровней вероятности выполнения ограничений ( ) также приводит к увеличению (т.к. функция распределения вероятностей является монотонно возрастающей) – это можно считать своего рода «платой за определенность».