Задача о кратчайшем маршруте

К задачам этого класса могут быть сведены некоторые важные модели исследования операций (замена оборудования, календарное планирование и др.).

Пример 3. Для транспортной системы, представленной на Рис. 5, определить кратчайший (по расстоянию) маршрут между узлами 1 и 7. Расстояния между узлами сети указаны у соответствующих дуг.

Схема транспортной системы примера.

Вопрос 26. Формулировка, экономическое содержание и алгоритм решения задачи о максимальном потоке

По сети, состоящей из множества вершин и дуг, пропускаются потоки вещества (газ, жидкость) или транспорта. Каждая вершина характеризуется интенсивностью потока , причем если , то вершина называется источником, если , - стоком; все остальные вершины являются промежуточными. Каждой дуге ( ) сети соответствует некоторая пропускной способность , т.е. максимальный поток, который она может пропустить за единицу времени. В простейшем случае имеется единственный источник , единственный сток , и ряд промежуточных вершин сети .

Ставится задача нахождения для сети заданной топологии максимальной величины потока из источника в сток. Под потоком в сети понимается совокупность потоков { } по всем дугам сети, где - поток по дуге ( ) (количество перемещаемой субстанции в единицу времени).

Математически задача формулируется следующим образом: найти неотрицательные значения для всех , максимизирующие величины

при ограничениях:

;

Условие (1) задает величину максимального потока в сети, который, очевидно, численно равен количеству вещества, вытекающего из источника, или притекающего в сток. Условия (2) задают ограничения на пропускные способности дуг; условия (3) предполагают, что поток не исчезает в процессе транспортировки (условия сохранения потока).

Покажем, как более сложные задачи с произвольным числом источников и стоков могут быть сведены к только что рассмотренным задачам с единственным источником и стоком.

Пусть сеть, включающая три источника и два стока (Рис. 1) описывает следующую задачу. Из скважин, расположенных в пунктах нефть транспортируется на нефтеперерабатывающие заводы через некоторые промежуточные пункты (например, станции перекачки или железнодорожные станции). Чтобы определить, какое максимальное количество нефти можно транспортировать из мест добычи на нефтеперерабатывающие заводы, достаточно расширить сеть, добавив один фиктивный источник и один фиктивный сток (фиктивные дуги обозначены штриховыми линиями). Пример задачи в вопросе 25

Вопрос 27. Экономическое содержание и алгоритм решения задачи о потоке минимальной стоимости

К задачам такого типа сводятся транспортная задача, задача о назначениях и ряд других задач.

Задана сеть, каждой дуге которой соответствует пропускная способность и дуговая стоимость (стоимость доставки единицы потока по дуге). Необходимо найти поток из источника в сток заданной величины , обладающий минимальной стоимостью. Под стоимостью потока понимается стоимость доставки продукта из источника в сток.

Формулировка задачи:

Отметим, что если бы не было ограничений на пропускные способности дуг (ребер), то для решения задачи достаточно было бы найти самый экономичный путь (путь минимальной стоимости) из в и пропустить по нему весь поток (путь минимальной стоимости представляет собой путь, сумма стоимостей дуг которого минимальна). Пример задачи в вопросе 25