Вопрос 24. Оптимизация стоимости проекта при фиксированном сроке его выполнения

Рассмотрим частный случай оптимизации комплекса операций по стоимости (затратам). Будем предполагать, что затраты на выполнение отдельных операций находятся в обратной зависимости от продолжительности их выполнения. Коэффициент дополнительных затрат (КДЗ) этой зависимости для операции вычисляется по формуле

где характеризует срочный режим выполнения операции (наименьшая продолжительность), которому соответствуют наибольшие затраты ; – нормальный режим выполнения операции (наибольшая продолжительность), которому соответствуют минимальные затраты .

Коэффициент дополнительных затрат показывает, насколько увеличится стоимость операции при уменьшении ее продолжительности на единицу времени.

Сформулируем задачу. Для заданного сетевого графика известны продолжительности выполнения работ и их стоимость в срочном режиме ( ). Для срочного режима определены критическое время и стоимость выполнения проекта . Стоимость при этом является максимальной. Предполагается, что КДЗ для каждой работы известны. Ставится задача минимизации стоимости проекта при фиксированном сроке его выполнения за счет увеличения времени выполнения отдельных работ. Критическое время может быть меньше заданного срока или равно ему. Если , то оптимизация возможна только за счет резервов некритических работ, при - за счет всех работ проекта.

Будем считать неизвестными задачи сроки свершения событий. Продолжительность работы ( ) равна , и стоимость каждой работы предполагается линейно зависящей от времени ее выполнения

Математическая формулировка задачи:

Очевидно, что данная задача принадлежит к классу задач линейной оптимизации.

Вопрос 25. Общая формулировка и примеры задач о потоках в сетях

Класс задач, имеющих важное прикладное значение. Их решение позволяет наиболее эффективно использовать имеющиеся транспортные системы, например, максимизировать их пропускные способности либо свести к минимуму транспортные издержки. Одной из таких задач является задача о максимальном потоке.

Пример 1.

Имеется некоторая транспортная сеть (Рис. 2.). Предположим, что транспортные потоки могут идти в обоих направлениях некоторых дуг. На рисунке обозначены пропускные способности в обоих направлениях: например из пункта 3 в пункт 6 может быть транспортирован поток интенсивностью 4 единицы, и такой же поток – из 6 в 3. Нули у окончаний некоторых дуг означают невозможность транспортировки в соответствующем направлении (например, из п. 4 в п. 2 поток перемещаться не может). Требуется определить максимальную пропускную способность сети в целом, - максимальное значение потока F.

Задача о потоке минимальной стоимости.

К задачам такого типа сводятся транспортная задача, задача о назначениях и ряд других задач.

Пример 2

Рассматривается сеть, представленная на Рис. 3.

Рис. 3. Транспортная сеть примера.

Цифры в скобках обозначают: в случае узла 1 (источника) – количество имеющегося продукта, в случае узлов 4 и 5 – потребности соответствующих объектов в продукте. Первые числа у стрелок означают удельную стоимость транспортировки продукта ( ), а вторые – пропускную способность дуги (например, магистрали). Индекс * у дуг (2,3) и (4,5) означает, что пропускные способности данных дуг могут считаться неограниченными (например, они значительно превосходят имеющиеся в наличии запасы продукта).

Требуется определить интенсивности потоков, при которых суммарная стоимость доставки была бы минимальной, а потребности узлов 4 и 5 были бы удовлетворены.