Общая формула для погрешности.

Основная задача теории погрешности: известны погрешности некоторой совокупности величин, требуется определить погрешность данной от этих величин.

Задана функция:

1. - функция дифференцируема;

2. абсолютные погрешности .

Тогда:

Обычно очень малы, поэтому

Таким образом

Тогда абсолютная предельная погрешность:

Делим абсолютную предельную погрешность на предыдущее выражение, получаем относительную погрешность функции u:

Предельная относительная погрешность функции u:

Пример: найти предельные абсолютную и относительную погрешности объёма шара , если диаметр d = 3,7 0,05 см, а = 3,14.

Рассматривая и d как переменные величины,

вычисляем частные производные:

Предельная абсолютная погрешность объёма:

см³

V = 27.4 см³ 1.1 см³

Предельная относительная погрешность:

или 4%.

Обратная задача теории погрешности.

Каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины.

Математически задача не определена, т.к. заданную предельную погрешность функции u=f(x₁, x₂ ,...x_n ) можно обеспечить, устанавливая по-разному предельные абсолютные погрешности её аргументов.

Простейшее решение обратной задачи даётся так называемыми принципами равных влияний: полагается, что

при i=1,2,...n

Одинаково влияют на образование общей абсолютной погрешности функции u=f(x₁, x₂ ,...x_n ). Пусть величина предельной абсолютной погрешности задана, тогда

=

Предполагая, что все слагаемые равны между собой, получим

при i=1,2,...n.

Пример: Как точно надо измерить радиус круга R=30.5 см и точно взять , чтобы площадь круга была известна с точностью до 0.1%

S= k²

ln S= ln + ln k²

0.0016 = до сотого знака

k 0.0016 см = до тысячного знака

3.142

k =30.500

Лекция №3 и 4 Интерполяция функций.

Первый этап работы любого вычисления - числа, приближения, погрешность.

Второй этап работы - функция, вычисления функции, её приближения. В краце о интерполяции. Интерполяция в простейшем случае заключается в следующем:

С

уществует какая-то функция, на ней заданы точки (называемые узлами интерполяции), требуется построить (интерполированную) функцию, которая принимала бы в указанных узлах те же значения.

Постановка задачи.

На отрезке заданы n значений аргумента x и соответствующие им значения функции f(x₀)=y₀; f(x₁)=y₁; …; f(x_n)=y_n.

Требуется построить функцию F(x), которая бы принимала в точках x те же значения, что и f(x):

F (x₀)=y₀; F (x₁)=y₁… F (x_n)=y_n

Для чего?

Для того, чтобы:

1. Задача интерполяции. Суметь по полученной функции вычислить значения F(z), где z ,

z x_i при i=0,n

2. Задача экстраполяции. Суметь по полученной функции вычислить F(z), где z .

Все существующие интерполяционные формулы содержат в себе конечные разности различных порядков.

Введём понятие конечных разностей.