Лекция №14 Краевая задача. Методы её решения.

Дана система дифференциальных уравнений:

Дополнительные условия полагаются как в точке X0-начальные условия, так и в точке x_n - конечные (краевые условия).

Очевидно, что краевая задача имеет место быть для систем уравнений. Для одного уравнения первого порядка краевая задача не может быть поставлена.

Замечание: в последнее время понятия краевой задачи несколько расширилось: дополнительные условия могут быть заданы во внутренних точках

их в таком случае называют внутренние краевые условия.

Краевая задача сама по себе крайне сложна, поэтому аналитическое решение не всегда бывает решение системы и суметь явно определить из краевых условий значения , входящих в общее решение постоянных.

Редко применяются и приближенные методы, такие как разложение в ряд Фурье; метод Рутца; метод Галерина.

В основном краевые задачи решаются численными методами, которые мы и рассмотрим. В виду сложности решения для систем уравнения n-го порядка, мы для простоты рассмотрим эти методы для двухточечной краевой задачи, которая ставится следующим образом: найти функцию y(x) как решение системы дифференциальных уравнений:

или

f(x, y, y', y'')=0 (1)

При этом искомая функция y(x) должна удовлетворять следующим краевым условиям:

(2)

Если уравнения (1) и (2) линейные, то такая краевая задача называется линейной краевой задачей. В этом случае дифференциальное уравнение и краевые условия могут быть записаны так:

y''+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=u(x)

где p(x), q(x), u(x) - известные непрерывные функции на отрезке ;

- заданные константы, причём:

Если А,В = 0 , то краевые условия называются однородными.

Рассмотрим численные методы сначала для линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка.

Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений.

Пусть точки внутри отрезка распределены равномерно, т.е. с шагом и

Обозначим приближенные значения искомой функции и её производных в точках x_i или

Заменяем производную разностей ( первые два члена в разложении в

ряд Тейлора):

для граничных условий:

;

тогда уравнение:

y''+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=u(x)

можно переписать:

Получаем линейную алгебраическую систему из n+1 уравнений с n+1 неизвестной. Решив её, получаем таблицу значений искомой функции в точках x_i.

Более точные формулы получаются, если заменить y'(x_i), y''(x_i) центрально-разностными соотношениями:

Тогда мы получаем систему уравнений следующего вида:

При большом n непосредственное решение систем становится громоздким. Поэтому существует достаточно простой метод, разработанный специально для решения системы такого вида. Этот метод называется методом прогонки.

Метод прогонки.

Возьмем систему уравнений в конечно-разностном представлении:

преобразуем систему:

Далее получаем систему в виде:

где коэффициенты с_i, d_i при i=0 вычисляются:

; ;

Каков алгоритм метода.

1) Вычисляем m₀, k₀.

2) Вычисляем с₀, d₀.

3) Вычисляем с_i, d_i, для i=1..n-2

Вычислив все координаты с_i, d_i для i=0..n-2, мы заканчиваем прямой

ход задачи. Далее начинается обратный ход:

1. =>

Зная с_n-2, d_n-2 вычисляем y_n.

2. Далее вычисляем y_i, i=n-2..1, по формуле:

а именно

3. А y₀ определяется из уравнения:

=>

На этом и заканчивается обратный ход.

Т.о. все вычисления как бы "прогоняются" два раза. Вычисление прямого хода с с₀, d₀ использует начальные условия. Затем на обратном ходе полученные с_n-2, d_n-2 согласовываются с краевым условием. После всего этого

последовательно получаем y_i в порядке убывания индекса i.

Все вычисления при методе прогонки лучше всего сводить в таблицу.

				Прямой ход		обратный
i	xi	ki	ui	ci	di	yi
...	...	...	...	... ...	... ...	... ...