- •Конспект лекций
- •Пермь 1995
- •Лекция №1 Введение. Понятие о численных методах. История развития численных методов.
- •Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности.
- •Погрешность числа (а).
- •Абсолютная погрешность().
- •Предельная абсолютная погрешность.
- •Относительная погрешность ().
- •Предельная относительная погрешность (a).
- •Основные источники погрешности.
- •Значащие и верные цифры.
- •Верные цифры.
- •Округление чисел.
- •Связь относительной погрешности приближённого числа с количеством верных цифр этого числа.
- •Лекция № 2 Погрешность суммы.
- •Погрешность разности.
- •Погрешность произведения.
- •Число верных знаков.
- •Погрешность частного.
- •Общая формула для погрешности.
- •Обратная задача теории погрешности.
- •Лекция №3 и 4 Интерполяция функций.
- •Постановка задачи.
- •Конечные разности различных порядков.
- •Первая интерполяционная формула Ньютона.
- •Вторая интерполяционная формула Ньютона.
- •Общая характеристика интерполяционных формул с постоянным шагом.
- •Интерполяционная формула Лагранжа.
- •Частные случаи.
- •Лекции №5 Фрмула Ньютона для неравностоящих узлов Разделённые разности
- •Интерполяционная формула Ньютона для неравностоящих значений аргумента
- •Погрешность формулы Ньютона для неравностоящих узлов
- •Интерполяция сплайками
- •Многочлены Чебышева
- •Выбор узлов интерполирования
- •Обратное интерполирование для равноотстоящих узлов
- •Обратное интерполирование для неравноотстоящих точек
- •Общие выводы по задаче интерполяции
- •Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа
- •Лекция n 6 и 7 приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.
- •Определение корней Графический способ.
- •Аналитический способ.
- •Графическое решение уравнений.
- •Метод половинного деления.
- •Алгоритм метода
- •Метод пропорциональных частей (метод хорд)
- •Алгоритм метода
- •Метод ньютона (метод касательных)
- •Сходимость метода итераций
- •Сходимость метода
- •Лекция №8 и 9 Решение системы линейных уравнений Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Трудоёмкость метода Гаусса
- •Достоинства метода
- •Метод итераций
- •Сходимость метода итераций для решения системы алгебраических уравнений
- •Достоинства метода итераций
- •Метод Зейделя
- •Лекция №10 Численное решение систем линейных уравнений
- •Метод Ньютона
- •Сходимость метода Ньютона
- •Теорема о существовании корней и сходимости процесса Ньютона
- •Метод скорейшего спуска (градиентный метод)
- •Градиент функции u
- •Сходимость градиентного метода
- •Лекции №11 и 12 Приближённое дифференцирование.
- •Графический способ дифференцирования.
- •Алгоритм построения графика производной.
- •Лекция n 13
- •Особенности метода Эйлера.
- •Метод Руте-Кутта.
- •Метод Адамса.
- •Лекция №14 Краевая задача. Методы её решения.
- •Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений.
- •Метод прогонки.
- •Метод конечных разностей для нелинейных уравнений второго порядка.
- •Лекция №15 методы обработки эксперементальных данных. Постановка задачи
- •Узловые точки
- •Класс функций
- •Критерий согласия
- •Среднеквадратический критерий
- •Минимальный критерий или критерий чебышева
- •Вероятностно-зональный критерий
- •Точность
- •Метод наименьших квадратов постановка задачи
Основные источники погрешности.
Погрешности, встречающиеся в математических задачах можно разбить на четыре группы:
1. Погрешность, связанная с самой постановкой математической задачи. Постановка задачи редко точно отражает реальную сущность, что связано с допущениями на уровне физических процессов. Принятие, на этапе постановки задачи, упрощения, которые сделаны с точки зрения упрощения или неточности (нехватки) знаний вызывает ряд погрешностей, называемых погрешностью задачи.
2. Невозможность решения задачи в точной постановке, в которой задача решается громоздкими и экономически невыгодными методами. В этом случае постановку заменяют другой, более легко решаемой. При этом возникает погрешность, называемая погрешностью метода.
3. Погрешность исходных данных (входных параметров). Эта погрешность часто встречается под другим названием - начальная погрешность. Источником этой погрешности является приближенные значения начальных параметров (например, некоторых общепринятых констант = 3,14; g = 9,81 и т.д.)
4. Погрешность округления. Любое вычисление выполняется с определенным набором значащихся цифр, что приводит к возникновению погрешности округления, которая может накапливаться в процессе вычислений.
О погрешностях - постановки задачи и начальные условия, называются неустранимыми. Остальные погрешности в принципе можно уменьшить до определённого придела.
В дальнейшем наше вычисление в основном будет направлено на погрешности метода и погрешности округления и соответственно погрешности действия.
Погрешность действия вытесняет из погрешности округления:
1/3 = 0.333 => погрешность = 3·10-4
Значащие и верные цифры.
Известно, что всякое положительное число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной дроби:
a = m·10m +m-1·10m-1 +... +m-n+1·10m-n+1 + ... ,
где i - цифры числа а, причём m 0,
m,n - некоторые числа.
Например,
60523.704...= 6·104 +5·102 +2·101 +3·100 +7·10-1 +4·10-3 +...
На практике приходится иметь дело с приближёнными числами, представляющими собой конечные десятичные дроби
b = bm·10m + bm-1·10m-1 +...+ bm-n+1·10m-n+1 , (bm 0),
где bi все сохраняемые десятичные знаки (i = m, m-1, ..., m-n+1) называются значащими цифрами, в том числе и нули, стоящие между двумя значащими цифрами.
Таким образом, значащей цифрой приближённого числа называется любая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, а также и нуль, если он содержится между двумя значащими цифрами. Все остальные нули, входящие в состав числа и служащие лишь для обозначения десятичных разрядов его, не считаются значащими цифрами.
Пример:
а) 0,000 5080 5.080·10-4;
незначащие значащие
б) 689 000 6.89·105;
значащие незначащие
в) 2003 000000 2.003·109.
значащие незначащие
Верные цифры.
Первые n значащих цифр (десятичных знаков) являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой, считая слева направо.
Таким образом, если = |а-а*| ½·10m-n+1, то первые n значащих цифр m,m-1, ...,m-n+1 являются верными.
Пример:
а) точное число а = 395.4683 приближённое число а* = 395.5:
= | 395.4683 - 395.5 | = 0.0317 ½·0.1.
Таким образом, верные цифры 395.5
a* = 3·102 +9·101 +5·100 +5·10-1.
б) а* = 395.47
= 0.0017 ½·0.01.
в) а* = 395.469
= 0.0007 ½·0.01.
Данное выше определение является определением в узком смысле слова.
Определение в широком смысле слова подразумевает не половину единицы, а целую единицу. Но в литературе, и мы будем пользоваться определением в узком смысле, если не будет иных оговорок.