Узловые точки

В принципе это вопрос статистики, а именно той области, которая называется "планированием эксперемента".

На практике узловые точки заданны внешними обстоятельствами или как правило используются равноотстоящие точки.

Если же существует возможность выбора точек, то она и в методах интерполяции многочленами лучше всего воспользоваться теоремой Чебышева.

Класс функций

Выбор вида функции осуществляется исходя из общей задачи, в рамках которой решается задача обработки эксперементальных данных. В качестве приближающей функции могут быть использованны следующие элементарные фунции:

- степенная

- показательная

- дробно-линейная

- логарифмическая

- гиперболическая

- дробно-рациональная

- линейная

- квадратный трехчлен

- тригонометрическая

Далее мы рассмотрим эти приближающие функции более подробно.

Критерий согласия

Это самый важный вопрос. Решение этого вопроса дает ответ решения задачи наилучшего приближения. Что означает математически наилучшее приближение.

Существуют три наиболее широко распространенных критерия согласия:

- среднеквадратический;

- минимальный или Чебышева;

- вероятностно-зональный.

Среднеквадратический критерий

Предпологает минимизацию суммы квадратов ошибки в узловых точках:

где y_i -значение исходной функции в точке х_i (табличное);

F(х_i) -значение апроксимирующей функции.

Среднеквадратический критерий позволяет получить сглаживание шума то есть позволяет отфильтровать зашумленные данные, не требуя никакой дополнительной информации о шумовых характеристиках.

Минимальный критерий или критерий чебышева

определяется:

как определение максимального отклонения.

Если применение среднеквадратического критерия уменьшает среднеквадратическую ошибку, при этом допуская отдельные большие ошибки, то чебышевское приближение - минимальное - уменьшает экстремальную наибольшую ошибку. По этому этот критерий используется, когда необходимо при апроксимации избежать больших ошибок.

Минимальный критерий также не использует дополнительную информацию о шумовых характеристиках.

Вероятностно-зональный критерий

а вернее критерии используют (требуют) дополнительную информацию о шумовых характеристиках обьекта:

- ?

- максимальное правдоподобие - распределение вероятностей и т.д.

Задача обработки эксперементальных данных относится к задачам оптимизации. Задача оптимизации начинается с формулировки цели. Критерий - это математическое определение цели.

Цель - наилучшее приближение.

Критерий : среднеквадратичный

Точность

Выбор точности приближения осуществляется исходя из условий задачи и выбранного критерия.

На практике наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов, использующий среднеквадратический критерий.

Метод наименьших квадратов постановка задачи

Пусть задана таблица измерений:

Xi	X1	X2	…	Xn
F(X)	Y1	Y2	…	Yn

Тогда задача формулируется следующим образом: для функции f(X_i), заданной таблицей, найти функции F определенного вида так, чтобы сумма квадратов:

В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f рассмотрим следующие функции:

- степенная

- показательная

- дробно-линейная

- логарифмическая

- гиперболическая

- дробно-рациональная

- линейная

- квадратный трехчлен

a, b, m, c - параметры. Когда осуществлен выбор приближающей функции, то задача приближения сводится к определению значения этих параметров.

Рассмотрим задачу в общем виде.

Приближающая функция имеет общий вид:

Сумма квадратов:

Чтобы найти минимум функции , используем необходимое условие экстремума:

т. е.

Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными а, в, с мы и получили конкретный вид функции F(x, a, b, c).

Естественно, что F(X_i) будет отличатся от Y_i , но отношения

будут минимальны в среднеквадратичном случае.

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ.

Поделим каждое уравнение на n

Введем обозначения:

М_x , М_y , М_xy , М_x² - конкретные числа, т. е. мы получаем достаточно просто систему второго порядка, решение которой и даёт искомые a, b.

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН.

После преобразования получаем систему:

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

(ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ РЕГРЕССИЯ)

F(x, a, m)=ax^m

Прологарифмируем F:

Ln(F)=Ln(a)+m*Ln(x)

(если а>0, х>0)

Введем новую переменную U=Ln(x)

(U)=Ln(F)=AU+B

где А=m и B=Ln(a)

Решаем линейную задачу (U)=AU+B

Практически:

1) составляем новую таблицу

Ln(x)
Ln(y)

2) находим параметры А, В

3) определяем m=A; получаем

F(x, a, m)=ax^m

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ.

F(x, a, m)=ae^xm

Логарифмируем

Ln(F)=Ln(a)+mx m=A Ln(a)=B Ln(F)= =Ax+B

1) составляем дополнительную строку

Ln(y)

2) находим А, В

3) определяем m=A, и получаем

F(x, a, m)=ae^xm

ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ.

Преобразуем следующим образом:

1) дополнительная строка 1/y

2) решаем систему линейных уравнений, определяя a, b.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ.

F(x, a, b)= a*Ln(x)+b

Подстановка U=Ln(x)

1) Дополнительная строка Ln(x)

ГИПЕРБОЛА.

Подстановка

1) Дополнительная строка

ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНАЯ.

Подстановка

1) Дополнительные строки и

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

a+ib

ДЕЙСТВИЯ:

1) Сложения:

a+ib+c+id = (a+c)+(b+d)*i

2) Вычитания:

(a+ib)-(c+id) = (a-c)+(b-d)*i

3) Умножения:

(a+ib)*(c+id) = (a*c-b*d)+(a*d+b*c)*i

4) Деление: