Метод конечных разностей для нелинейных уравнений второго порядка.
Аналогично, как и в случае линейного дифференциального уравнения заменяем производные центрально разностными отношениями:
Получаем нелинейную систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными yi, i=0..n+1
Её можно решить любым методом, например методом итераций. При этом на каждом шаге итерации необходимо решать систему линейных уравнений.
Используя специальный вид такой системы математически было найдено
явное вид итерационной формулы:
где
известны
Т.о. решение системы сводится к достаточно простой итерационной схеме.
Лекция №15 методы обработки эксперементальных данных. Постановка задачи
Пусть в результате измерений в процессе опыта полученна таблица некоторой зависимости:
-
X
X1
X2
…
Xn
F (X)
Y1
Y2
…
Yn
Необходимо найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически.
Необходимо отметить, что такая постановка задачи соответствует постановке задачи интерполяции. Одноко в теории обрабртки эксперементальных данных методы, по сути являющиеся методами апроксимации, отличаются от методов интерполяции, ранее нами рассмотренных.
Методы интерполяции многочленами, которые мы с вами уже рассмотрели строят многочлены, значения которых в узловых точках Х1 совпадают со значениями Y1. Однако такое совпадение в общем случае вовсе не означает совпадение характеров поведения исходной и интерполирующей функции. Требования неукоснительного совпадения значений исходной и интерполирующей функции может оказаться тем более неоправданным, если значения Y1 получены в результате измерений и являются сомнительными. Это во первых.
Во вторых: задача интерполяции известными нами методами как правило решаются для небольшого отрезка, и найденная, интерполяционная функция может оказаться непригодной для другого отрезка или даже для большего отрезка.
Исходя из вышесказанного, следует уточнить задачу методов обработки эксперементальных данных. По заданным табличным данным необходимо найти функцию заданного вида: y = F (X), которая в точках Xi принимает значения как можно более близкие к табличным значениям Yi.
Практически вид приближающей функции F можно определить следующим образом. Стоим точечный график функции f, а затем проводиться плавная кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек. По полученной таким образом кривой устанавливается вид приближающей функции (обычно из числа простых по виду аналитических функций).
Построение приближающей функции F (X).
Как правило перед тем, как решить такую задачу необходимо ответить на четыре вороса:
1) Какие узлы мы будем использовать?
2) Какую аналитическую функцию мы будем использовать?
3) Какой критерий согласия мы будем использовать?
4) Какую точность мы хотим достичь?