Особенности метода Эйлера.

Метод очень прост в реализации, но обладает малой точностью, поскольку погрешность каждого нового шага систематически возрастает. Существует модификация метода, повышающая его точность - метод Эйлера-Коши - второй улучшенный метод.

Геометрически это означает, что мы определяем направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного берем среднее этих направлений.

Метод Руте-Кутта.

Метод Эйлера и метод Эйлера-Коши относятся к семейству методов Руте-Кутта, имеющие следующий вид:

Фиксируем некоторые числа

последовательно вычисляем

Тогда

Наибольшее применение получил метод Руте-Кутта 4-го порядка:

Геометрический смысл метода Руте-Кутта состоит в следующем:

Из точки движемся в направлении, определяемом углом На этом направлении выбираются точки . Затем из точки движемся в направлении, определяемом углом

1) Опрееделяем точку и направление

2) Выбираем точку , и направление

3) Выберем точку , и направление .

4) Выберем точку , и направление

Схема Руте-Кутта имеет ряд важнейших достоинств:

1) высокая точность

2) явная схема вычислений за определенное количество шагов и по определенным формулам.

3) возможен переменный шаг, т.е. можно сменить шаг, где функция быстро меняется.

4. легко оформляется.

Метод Адамса.

Уточняет уже ранее рассчитанные приближения

Пусть найдены каким-либо способом три последовательности значений искомой функции (“начальный отрезок”):

.……………

- Экстраполяционная формула Адамса.

Схема Адамса в виде таблицы.

0
1
2
3
4
5
6

С помощью этой формулы получаем предсказанные .

Но надо уточнить

Для работы на ЭВМ формулы Адамса лучше применять в другой форме, где определяется не через , а непосредственно через q.

Экстраполяционная формула Адамса:

Интерполяционная формула Адамса: