Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности.
Приближенным числом а* - называется число, незначительно отличающееся от числа а и заменяющее последнее в вычислениях.
Если а*<а, то приближенное число называется приближенным по недостатку. Если а*>а, то - по избытку.
Пример:
для
число 1,41 будет приближенным по недостатку,
а 1,42 - по избытку, так как 1,41<
<1,42.
Если а* есть приближенное значение числа а, то пишут а* а.
Погрешность числа (а).
Под погрешностью числа a приближенного понимают разность между точным числом а и приближенным а*, т.е.
а= а-а* или а=а*-а
Как правило на практике пользуются не погрешностью числа, а его абсолютной погрешностью. Это связано с тем, что во многих случаях знак ошибки неизвестен.
Абсолютная погрешность().
Абсолютной погрешностью приближенного числа а* называется абсолютная величина разности между точным числом а и его приближённым а*, т.е.
=| а-а*| (1)
Следует различать два случая:
1) Число а известно, тогда абсолютная погрешность легко определяется по формуле (1);
2) Число а неизвестно, что практически бывает чаще всего, и, следовательно, невозможно определить.
В этом случае вместо теоретической абсолютной погрешности вводят её оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность.
Предельная абсолютная погрешность.
Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число, не меньше абсолютной погрешности этого числа.
= |а-а*| a (2)
где a - предельная абсолютная погрешность. Из выражения (2) следует, что точное число а заключено в границах
а* -a a а* +a
по недостатку по избытку
Для краткости пользуются записью:
а = а* a
Пример:
определить предельную абсолютную
погрешность числа а=1,4142 являющегося
приближением
.
а) можно составить неравенство
,
следовательно можно принять a
= 0,001.
б) если учесть, что
,
то
a = 0,0002.
На приведенном примере можно сделать вывод о весьма широком понятии предельной абсолютной погрешности, а именно под предельной абсолютной погрешностью понимается любое число, удовлетворяющее неравенству (2).
Вполне естественно, что следует брать наименьшее число, удовлетворяющее неравенству (2).
Абсолютная погрешность или предельная абсолютная погрешность не достаточна для характеристики точности измерения или вычисления.
Пример:
а) Вес какой-либо детали 25 кг 0,1 кг;
б) Вес другой детали 2 кг 0.1 кг.
Абсолютная погрешность одна, но очевидно, что качество измерения первой детали выше, чем второй.
Для точности измерения или вычисления чаще используется понятие относительной погрешности.
Относительная погрешность ().
Относительной погрешностью приближенного числа а* называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю соответствующего точного числа а (а0), т.е.
/ | a |.
Предельная относительная погрешность (a).
Любое число, не меньшее относительной погрешности этого числа
a
или / | a | a => | a | a, т.к. на практике а а*, то часто используется следующая запись:
a = | a* | a