Лекция n 13

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) встречаются при описании движения системы взаимодействующих материальных носителей (механике, химической кинетике, электрических цепях, сопротивлении материалов и многих других явлениях жизни).Ряд важнейших задач сводится к задачам с обыкновенными дифференциальными уравнениями, а именно теория автоматического управления базируется на ОДУ, а также и другие курсы специальности АТПП.

Простейшим ОДУ является уравнение 1-го порядка:

ОДУ n-го порядка имеет вид:

Однако любое уравнение n-го порядка можно свести к системе из n уравнений 1-го порядка:

или

Таким образом, если задача состоит в решении ДУ высшего порядка, эту задачу всегда можно свести к решению ОДУ 1-го порядка. Поэтому в этом разделе мы будем рассматривать ОДУ 1-го порядка или системы ОДУ 1-го порядка.

В векторной форме:

(1)

Известно, что система n-го порядка имеет множество решений, которые в общем случае зависят от параметров С, общее количество которых -n. Общее решение системы ОДУ может быть записано в виде:

,где

Для определения значения этих параметров, т.е. выделения единственного (или нужного) решения надо наложить n дополнительных условий для Y(x).

Различают 3 основных типа задач для ОДУ:

- задача Коши;

- краевая задача;

- задача на собственные значения.

Задача Коши.

Эту задачу еще называют задачей с начальными условиями, т.е. она имеет дополнительные условия:

Краевая задача.

Когда часть дополнительных условий задаются на одном конце, а остальная на другом.

Задача на собственные значения.

, где

т.е. первые части зависят от параметров , значения которых неизвестны и должны быть определены из самой задачи. Число дополнительных условий соответственно n+l. Функции где ; удовлетворяющее всем уравнениям, называются собственными дифференциальными или собственными значениями задачи.

Методы решения ОДУ.

1. Аналитические методы;

2. Численные методы;

3. Графические методы;

4. Приближенные методы.

Аналитические методы дают решение в виде аналитического выражения.

Графические методы дают приближенное решение в виде графика.

Численные методы дают решение в виде таблицы,они не позволяют найти общего решения системы,а дают только какие-то частные решения. Численные методы применяют только к корректно поставленным задачам, т.е. к таким,у которых малое изменение начальных значений, приводит к достаточно малому изменению интегральных кривых.

Пример плохо обусловленной задачи:

Общее решение:

при

однако

Методы решения задачи Коши(приближенные).

Метод Пикара(метод последовательных приближений).

Этот метод позволяет получить приближенные решения ДУ в виде функции, представленной аналитически. Рассмотрим задачу Коши для уравнения 1-го порядка:

Условие сходимости метода.

Если в некоторой области G(x, y) f(x, y) непрерывна и удовлетворяет условию минимума:

, где L-константа Липшица, то численные решения равномерно сходится к точному в области G(x, y).

Достоинства и недостатки метода.

Метод Пикара удобно применять, если интегралы легко вычисляются через элементарные функции. Если f(x)-сложна, то интеграл приходится находить численным методом, а это усложняет задачу.

Метод последовательного дифференцирования.

…………..

Искомые частные решения может быть разложено в ряд Тейлора по степеням разности :

определяем

Численные методы.

Метод Эйлера.

В основе метода Эйлера (метод ломаных) лежит идея графического построения решения дифференциальных уравнений, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.

y

y

тогда можно для k-ой точки записать