Сходимость метода итераций
Теорема N1
Если функция (X)-определена и дифференцируема на отрезке [a,b]. Тогда если существует правильная дробь q такая , что
q
<1, для a<x<b
,
то процесс итерации
x
=
(x
)
сходится независимо от начального
значения
.
Условия теоремы гарантируют сходимость метода при любом выборе начального условия из [a,b], т.е. этот метод в условиях теоремы является самоисправляющим. От выбор зависит лишь объем вычислений.
На практике обычно бывает так, что грубым приемом устанавливается существование корня и методом итерации требуется уточнить приближенное значение. При этом условие теоремы N1 может выполняться лишь в некоторой окрестности точки. Если же условие теоремы N1 не выполняется, то сходимость метода зависит от выбора начального корня.
Теорема N2.
Условие минимума: если функция (x) удовлетворяет условию, то метод сходится.
0
(1-
)r
где <1
r=b-a
Сходимость метода
Если функция (x) удовлетворяет условию Лившица, то метод сходится.
Условие Лившица:
0
где <1, r=b-a
Лекция №8 и 9 Решение системы линейных уравнений Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений
Методы решения систем линейных уравнений в основном делятся на две группы:
Точные методы - представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы.
Итерационные методы - позволяющие получить корни системы уравнений с заданной точночтью путём бесконечных сходящихся процессов.
Введём следующие обозначения:
- матрица коэффициентов
- столбец свободных
членов
- столбец неизвестных
Решение имеет
место, если матрица
- неособенная, то есть
- решение системы
с помощью обратной матрицы
Сложность нахождения
обратной матрицы для
заключается в большом времени нахождения
.
Это обстоятельство обходится с помощью правила Крамера
,
где - определитель матрицы
- определитель
матрицы, полученный из матрицы
путём замещения
-го
столбца на столбец свободных членов
.
Пример:
Прямой метод
,
По правилу Крамера
Метод Гаусса
Наиболее распространённым приёмом решения системы линейных уравнений является метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных.
Рассмотрим для простоты систему линейных алгебраических уравнений 4-го порядка:
Выбираем ведущий элемент
Поделив первое уравнение на
,
получаем
,
(2)
где
,
,
Исключаем переменную из всех последующих уравнений, начиная со второго, путём вычитания уравнения 2, умноженного на коэффициент, стоящий при в соответствующем уравнении. Получаем
,
где
,
,
Выбираем ведущий элемент во втором уравнении
и так далее.
Если
,
то получим систему
,
(3)
то есть матрица имеет диагональный вид:
Из системы 3
отыскиваем
следующим образом
,
(4)
Процесс приведения матрицы к треугольному виду 3 называется прямым ходом, а нахождение корней по 4 обратным ходом.
Пример: прежний, но методом Гаусса. Приводит к системе уравнений:
- прямой ход
- обратный ход
Существует схема единственного деления, которая используется при дирном счёте, но мы либо рассмотрим её на практике, либо вообще не будем рассматривать.
То есть в нашем курсе мы ориентируемся на вычислительную технику и все методы интересуют как алгоритмы.