Алгоритм метода

Метод пропорциональных частей (метод хорд)

Пусть дано f(x) 0, необходимо найти x при котором f(x)=0, известен отрезок [a,b], на котором f(a)<0, f(b)>0

Метод заключается в том, что отрезок [a,b] делится не пополам, а в отношении: , это дает приближенное значение корня.

1)

где =

Далее применяя этот прием к тому отрезку [a, ] или [ ,b], на концах которого f(x) имеет противоположные знаки, получим второе

2. [a, ] или [ ,b] Допустим что [ ,b]

и т.д.

Геометрический способ пропорциональных частей эквивалентен замене кривой y=f(x) - хордой, проходящей через точки А[a, f(a)] и B[b, f(b)]

Y

B

X

A

1. неподвижен тот конец, для которого f(x) совпадает со знаком её второй производной f^’’(x);

2. последовательные приближения x_n лежат по ту сторону корня , где функция f(x) имеет знак, противоположный знаку её второй производной.

Алгоритм метода

Метод ньютона (метод касательных)

Найти корень уравнения f(x) на отрезке [a,b] , при этом f'(x) и f''(x) непрерывны на отрезке [a,b].

= -

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x), касательной, проведенной, в некоторой точке кривой.

Y

B

B₁

a

X

A

Ставится задача определения начального значения , от которого зависит скорость сходимости алгоритма.

Y

a b c X

с [a,b] непрактичный метод

Выбирать надо так, чтобы выполнялось условие f(X )f ''(X )>0

Т.е. в качестве исходной точки выбирается тот конец интервала [a,b], которому соответствует ордината того же знака, что и знак f''(x)

МЕТОД ИТЕРАЦИЙ

(метод последовательных приближений)

Дано уравнение f(x)=0 , заменим равносильным уравнением

(x)=x,

Это означает что решение уравнения (1) есть абсцисса точки пересечения графиков (x) и x

МЕТОД

Выбирается некое приближение ,получим точку по формуле

Затем подставляем и получаем

Повторяя этот процесс имеем последовательность чисел:

(1)

Если последовательность сходится, т.е. существует предел , то переходя к пределу в (1) предполагая непрерывной, найдём:

или

Таким образом является корнем.

И так до тех пор , покa <

Геометрическая интерпретация метода

Строим график y=x и (x)=y

Y

X

x₀ x₁ E=x₂

Каждый действительный корень является абсциссой точки пересечения