Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа

Если для функции интерполяционный полином Лагранжа принимает в точках заданные значения . Возникает вопрос, насколько близко построенный полином приближается к функции в других точках, то есть как велик остаточный член.

- абсолютная погрешность интерполяционной формулы Лагранжа (остаточный член)

Пример: с какой точностью можно вычислить с помощью ИФЛ для функции

Выбрав узлы интерполирования

, ,

• 

Лекция n 6 и 7 приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений с одной переменной представляет одну из важных прикладных задач. Найти корни такого уравнения не всегда удается точно. Поэтому важное значение приобретает задача нахождения корне уравнений и оценка степени их точности.

Пусть дано уравнение:

f(x)=0,

Считается, что на отрезке [a,b] f(x)-везде определена и непрерывна. В некоторых случаях требования ужесточаются, а именно требуется существование и непрерывность f '(x) и даже f ''(x).

E- называется корнем уравнения, или корнем f(x), если выполняется условие:

При этом следует отметить, что корней может быть несколько. Поэтому приближенное нахождение корней складывается в два этапа:

1) определение корней - т.е. выделение отрезков и [a,b], содержащих один корень;

2) уточнение приближенных корней - т.е. доведение их до заданной точности.

Определение корней Графический способ.

Выделяем три отрезка

В сомнительных случаях графическое определение корней необходимо подкрепить вычислениями.

Аналитический способ.

1. если функция f(x) концах отрезка принимает значения разных знаков на отрезке есть хотя бы один корень (теорема о наличии корня);

2) если функция на отрезке строго монотонна, то корень единственный (математически это означает, что f'(x) существует и имеет постоянный знак).

Пример:

на отрезке

	+	-
0	-	-
1	-	0
	+	+

на отрезке существует корень.

Графическое решение уравнений.

Графически корни уравнения f(x)=0, определяются, как абсциссы точек пересечения графика с осью ОX.

На практике часто бывает удобно уравнение f(x) заменить на равносильное уравнение:

(x)= (x),

где функции (x) и (x) более простые.

Тогда построив графики (x) и (x), искомые корни определяются, как абсциссы точек пересечения графиков.

Пример:

Метод половинного деления.

Пусть дано уравнение :

f(x)=0 и имеет единственный корень.

Делится отрезок [a,b] пополам.

1) f(с)= 0, где с- корень уравнения

2. f(с) 0

Выбирается тот участок, где f(x) меняет знаки на концах, т.е. или . Отрезок делится пополам и т.д. В результате на каком-то участке получаем точный корень.

Признак разных знаков f(a) f(b)<0

Признак одинаковых знаков f(a) f(b)>0