27. Имитационное моделирование многокомпонентных систем

Сложные экономические системы, в которых можно выделить основные компоненты, проще всего изучать с помощью моделей многокомпонентных систем, основанных на применении ориенти­рованных графов - орграфов.

При создании моделей сложных систем необходимо выявить и отобразить в моделях прямые и обратные связи, которые присутствуют в любой сложной системе. Благодаря наличию обратных связей в моделях результаты моделирования, анализа и прогноза оказываются гораздо более достоверными, чем при использовании структурных уравнений, в которых отражение этих обратных связей может вызвать большие затруднения. Наглядность и простота реализации аппарата решения многокомпонентных задач делает их доступными для широкого круга специалистов, не обладающих глубокими познаниями в области прикладной математики.

Геометрически ориентированный граф можно представить в виде набора вершин, обозначаемых кружками, и дуг, соединяющих эти вершины. Дуга задает направление от одной вершины к другой.

Моделирование ведется шагами, которые иногда называют им­пульсами. Сущность этого процесса состоит в том, что одной из вершин задается определенное изменение. Эта вершина актуализи­рует всю систему показателей, поэтому ее называют активизирую­щей. Таких вершин может быть несколько.

Исследователь должен указать активизирующие вершины, шаг изменений в них, а также начальные значения показателей во всех вершинах. Значения в вершинах будут меняться с каждым шагом имитации t, итог этого изменения определяется выражением:

(p_i)_t = (р_j)_t-1 + Σ_ij e _ij · l _ij · {(p_i)_t - (р_j)_t-1}, где (p_i)_t и (р_j)_t-1 — величины показателей в вершине / при шагах имитации соответственно t и (t — 1); е_ij и l_ij — коэффициенты, ха­рактеризующие знак и степень влияния показателя вершины i на показатель вершины j.

В этих моделях коэффициенты, характеризующие влияние смеж­ных вершин к_ij, могут определяться на основе экспертных оценок или (если есть для этого данные) статистическими методами. Эти коэффициенты равны коэффициентам регрессионных линейных моделей, характеризующих связи показателей смежных вершин.

В модели могут вводиться лаги, то есть задержки передачи воз­действия по каждой дуге во времени.

28. Прогнозирование неустойчивости методами теории катастроф

Теория катастроф представляет собой исследовательскую про­грамму изучения и прогнозирования неустойчивости различных систем. Такое название она получила потому, что потеря устойчи­вости по своим проявлениям может быть катастрофична, даже если не приводит к гибели или разрушению системы, а лишь обуславли­вает переход к иной траектории развития.

Простейшая программа прогнозирования элементарной катаст­рофы в экономической или производственной системе может быть построена на основе данных о связи переменных, характеризую­щих ее поведение. Функции, описывающие эти связи, могут быть получены эконометрическими методами. Например, связь двух переменных величин можно представить уравнением: у = х³/ 3 + а · х, где у и х — переменные, а — параметр; множитель 1/3 в первое слагаемое введен для упрощения преобразований.

Уравнение представляет собой функцию, характер кото­рой определяется величиной параметра а. Если этот параметр поло­жителен, то функция носит монотонный характер, ее график — плавная монотонно возрастающая кривая. Но если параметр а умень­шается, то при нулевом его значении тип функции меняется. При нулевом значении параметра изменяются характер связи в системе и поведение системы, это изменение называют бифуркацией.

При отрицательной величине параметра а функция, описывае­мая уравнением, представляет собой уже немонотонную фун­кцию. Она имеет максимум и минимум при значениях х = ± а^1/2.

Связь между переменными в определенной окрест­ности начала координат будет не однозначной. Одному значению переменной у будут соответствовать теперь три разных по величине значения переменной х. Таким образом, при монотонном плавном изменении переменной у переменная х будет изменяться скачкооб­разно. Это и будет катастрофа.

Если установлено, что между переменными, характеризующи­ми поведение системы, связь описывается уравнением вида, то можно утверждать, что в системе возможно проявление неус­тойчивости. Если параметр а положителен, но выявлена тенденция его умень­шения, то можно считать, что система приближается к катастрофе. В обоих случаях необходимо продолжить изучение системы и выя­вить условия или возможные сроки наступления катастрофы, оце­нить её вероятные последствия.

Тип элементарной катастрофы, определяемой связью, которая описывается уравнением, носит название катастрофы склад­ки, поскольку в пространстве трех координат - двух переменных и параметра а — поверхность, описываемая уравнением, имеет вид складки, начинающейся при а = 0 и углубляющейся по мере даль­нейшего уменьшения параметра.